1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên miền (D).
– Số (M) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số (y = fleft( x right)) trên (D) nếu (left{ begin{array}{l}fleft( x right) le M,forall x in D\exists {x_0} in D,fleft( {{x_0}} right) = Mend{array} right.)
Kí hiệu (M = mathop {max }limits_{x in D} fleft( x right)) hoặc (M = mathop {max }limits_D fleft( x right))
– Số (m) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số (y = fleft( x right)) trên (D) nếu (left{ begin{array}{l}fleft( x right) ge m,forall x in D\exists {x_0} in D,fleft( {{x_0}} right) = mend{array} right.)
Kí hiệu (m = mathop {min }limits_{x in D} fleft( x right)) hoặc (m = mathop {min }limits_D fleft( x right))
Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định và liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right])
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’), giải phương trình (y’ = 0) tìm các nghiệm ({x_1},{x_2},…{x_n}) thỏa mãn (a le {x_1} < {x_2} < … < {x_n} le b)
– Bước 2: Tính các giá trị (fleft( a right),fleft( {{x_1}} right),…,fleft( {{x_n}} right),fleft( b right))
– Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN (M) của hàm số trên (left[ {a;b} right])
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN (m) của hàm số trên (left[ {a;b} right])
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác đinh và liên tục trên (left( {a;b} right))
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (f’left( x right)), giải phương trình (y’ = 0) tìm các nghiệm ({x_1},{x_2},…{x_n}) thỏa mãn (a le {x_1} < {x_2} < … < {x_n} le b)
– Bước 2: Tính các giá trị (fleft( {{x_1}} right),fleft( {{x_2}} right),…,fleft( {{x_n}} right)) và (A = mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} fleft( x right);B = mathop {lim }limits_{x to {b^ – }} fleft( x right))
– Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.
+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là (A) hoặc (B) thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng (left( {a;b} right))
+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là (fleft( {{x_i}} right),i in left{ {1;2;…;n} right}) thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng (fleft( {{x_i}} right)) khi (x = {x_i})
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước
Cho hàm số (fleft( x right)) xác đinh và liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right])
Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của (y’))
– Bước 1: Tính (y’), giải phương trình (y’ = 0) tìm các nghiệm ({x_1},{x_2},…{x_n})
– Bước 2: Tính các giá trị (fleft( a right),fleft( {{x_1}} right),…,fleft( {{x_n}} right),fleft( b right))
– Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn (left[ {a;b} right])
– Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm (m)
