1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
– Hàm số (u) xác định trên tập hợp các số nguyên dương ({N^*}) được gọi là một dãy số. (dãy số vô hạn).
– Dãy số xác định trên tập hợp gồm (m) số nguyên dương đầu tiên ta cũng gọi là dãy số (dãy số hữu hạn).
Các số hạng trong dãy: ({u_1} = uleft( 1 right),{u_2} = uleft( 2 right),…,{u_n} = uleft( n right),…)
Kí hiệu: Người ta thường kí hiệu dãy số (u = uleft( n right)) bởi (left( {{u_n}} right)) và gọi ({u_n}) là số hạng tổng quát của dãy số đó.
b) Các cách cho một dãy số
– Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
Ví dụ: Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = dfrac{1}{{n + 2}}).
– Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay còn nói Cho dãy số bằng quy nạp).
Ví dụ: Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = 2.{u_{n – 1}}).
c) Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa:
– Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là dãy số tăng nếu ta có ({u_{n + 1}} > {u_n}) với mọi (n in {mathbb{N}^*})
– Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là dãy số giảm nếu ta có ({u_{n + 1}} < {u_n}) với mọi (n in {mathbb{N}^*})
d) Dãy số bị chặn
Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số (M) sao cho
({u_n} le M,forall n in {N^*})
Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số (m) sao cho
({u_n} ge m,forall n in {N^*})
Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số (M,m) sao cho
(m le {u_n} le M,forall n in {N^*})
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi để tìm số hạng của dãy.
Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp:
– Bước 1: Liệt kê các số hạng của dãy số và dự đoán công thức tổng quát.
– Bước 2: Chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.
Dạng 3: Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số.
Sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, bị chặn của dãy số để xét.
