1. Các kiến thức cần nhớ
Căn bậc hai số học
Với số dương $a$, số $sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.
Căn thức bậc hai
Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
$sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.
Hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$
Với mọi số $a$, ta có $sqrt {{a^2}} = left| a right|$.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b Leftrightarrow sqrt a < sqrt b $.
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right| = left{ begin{array}{l},,,,A,,,,,{rm{khi}},,,A ge 0\ – A,,,,,,{rm{khi}},,,A < 0end{array} right.$
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Phương pháp:
– Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là ${left( {a + b} right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${left( {a – b} right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}$)
– Sử dụng hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right| = left{ begin{array}{l},,,,A,,,,,{rm{khi}},,,A ge 0\ – A,,,,,,{rm{khi}},,,A < 0end{array} right.$
Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức biểu thức $sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A ge 0.$
Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai
Phương pháp:
Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:
(sqrt A = B Leftrightarrow left{ begin{array}{l}B ge 0\A = {B^2}end{array} right.) ; (sqrt {{A^2}} = B Leftrightarrow left| A right| = B)
(sqrt A = sqrt B Leftrightarrow left{ begin{array}{l}A ge 0left( { vee B ge 0} right)\A = Bend{array} right.) ; (sqrt {{A^2}} = sqrt {{B^2}} Leftrightarrow left| A right| = left| B right| Leftrightarrow A = pm B)
