1. Kiến thức cần nhớ
a) Căn bậc hai của số phức.
– Số phức (w = x + yileft( {x,y in R} right)) là căn bậc hai của số phức (z = a + bi) nếu ({w^2} = z).
– Mọi số phức (z ne 0) đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (w) và ( – w)
– Số thực (a > 0) có hai căn bậc hai là ( pm sqrt a ); số thực (a < 0) có hai căn bậc hai là ( pm isqrt {left| a right|} ).
b) Phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc hai tổng quát: (A{z^2} + Bz + C = 0left( {A ne 0} right)).
– Biệt thức (Delta = {B^2} – 4AC).
+ Nếu (Delta = 0) thì phương trình có nghiệm kép ({z_{1,2}} = – dfrac{B}{{2A}})
+ Nếu (Delta ne 0) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ({z_{1,2}} = dfrac{{ – B pm sqrt Delta }}{{2A}}) (ở đó (sqrt Delta ) là kí hiệu căn bậc hai của số phức (Delta ))
– Hệ thức Vi-et: (left{ begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = – dfrac{B}{A}\{z_1}{z_2} = dfrac{C}{A}end{array} right.)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức.
Phương pháp:
Cách 1: Biến đổi (z = a + bi) dưới dạng bình phương của số phức khác.
Cách 2: Giả sử (w = x + yileft( {x,y in R} right)) là một căn bậc hai của (z), khi đó ({w^2} = z Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – {y^2} = a\2xy = bend{array} right.)
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (Delta = {B^2} – 4AC).
– Bước 2: Tìm các căn bậc hai của (Delta )
– Bước 3: Tính các nghiệm:
+ Nếu (Delta = 0) thì phương trình có nghiệm kép ({z_{1,2}} = – dfrac{B}{{2A}})
+ Nếu (Delta ne 0) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ({z_{1,2}} = dfrac{{ – B pm sqrt Delta }}{{2A}}) (ở đó (sqrt Delta ) là kí hiệu căn bậc hai của số phức (Delta ))
Dạng 3: Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương pháp:
– Bước 1: Nêu định lý vi-et.
– Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm.
– Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị.
Dạng 4: Giải phương trình bậc cao.
Phương pháp:
Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.
