Cho $a,b,c$  là các số thực dương thõa mãn  $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\sum_{cyc} \dfrac{a^2+1}{3\sqrt[3]{a^2b^2}(1+3\sqrt[3]{c^2})-8} \geq \dfrac{3}{2}$

Cho $a,b,c$  là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3b$
Chứng minh rằng $\dfrac{1}{(a+1)^{2}}+\dfrac{4}{(b+2)^{2}}+\dfrac{8}{(c+3)^{2}}\geq 1$

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a+b}{c} \geq 2.\sqrt{(a+b+c)(\dfrac{a}{bc} +\dfrac{b}{ca}+ \dfrac{c}{ab})}$

Cho $a,b,c \ge 0$ và không đồng thời bằng $0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

                   $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \ge \dfrac{5}{2}$

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+a+b+c \geq 6$

Giải phương trình nghiệm nguyên:$28^x=19^y+87^z$

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{({x^3} + {y^3} + {z^3})({x^2} + {y^2} + {z^2}) = 3({x^5} + {y^5} + {z^5})}\\
{x + y + z = 2009t}
\end{array}} \right.$

Tìm nghiệm nguyên dương phương trình $5(x+y+z+t)+15=2xyzt$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2+24$

Tìm bộ ba số nguyên không âm $x,y,z$  thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3{x^2} + 54 = 2{y^2} + 4{z^2}}\\
{5{x^2} + 74 = 3{y^2} + 7{z^2}}
\end{array}} \right.$ và tổng $x+y+z$ nhỏ nhất