Cách 1:

Điều phải chứng minh: $\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+b)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{5}$

Ta có $(a+b)^{2}+b^{2}=\dfrac{1}{5}[(a+b)^{2}+b^{2}](1^{2}+2^{2})\geq \dfrac{1}{5}[2(a+b)+b]^{2}=\dfrac{1}{5}(2a+3b)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{(a+b)^{2}+b^{2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2a+3b)$

Hoàn toàn tương tự: $\sqrt{(b+c)^{2}+c^{2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2b+3c)$

                                      $\sqrt{(c+a)^{2}+a^{2}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2c+3a)$

Cộng vế với vế của các BĐT cùng chiều ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra: $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Cách 2:

$\sqrt{a^2+2ab+2b^2}\geq \dfrac{2a+3b}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ ( luôn đúng $\forall a,b$ )

Tương tự: $\Rightarrow \sum{\sqrt{{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}}\ge \dfrac{5(a+b+c)}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=\dfrac{1}{3}$