Trên tia đối của $BE$ lấy điểm $M$ sao cho$BM=AC$.

Trên tia đối của $CF$ lấy điểm $N$ sao cho $CN=AB$.

Ta có: $\widehat{ABE}+\widehat{BAE}=\widehat{ABE}+\widehat{BAC}={{90}^{0}}$  (Vì $\Delta AEB$ vuông tại $E$)

Tương tự: $\widehat{ACF}+\widehat{CAF}=\widehat{ACF}+\widehat{BAC}={{90}^{0}}$

$\widehat{ABE}+\widehat{ACF}\Rightarrow {{180}^{0}}-\widehat{ABE}={{180}^{0}}-\widehat{ACF}\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{ACN}$

Xét $\left\{ \begin{array}{l}
M = AC\\
\widehat {MBA} = \widehat {ACN} \Rightarrow \Delta BMA = \Delta CAN\;(c.g.c)
\end{array} \right.$

\end{align} \right.$

Có : $AB=CN$ $\Rightarrow MA=AN$ (2 cạnh tương ứng)

Lại có: $BE+AC=BA+CF\ (gt).$ Thay $AB=CN,\ AC=BM,$ ta được: $BE+BM=CN+CF\Rightarrow EM=FN$

Xét $\Delta AEM$ và $\Delta AFN$:

$\left. \begin{array}{l}
AM = AN\;(cmt)\\
\widehat {AEM} = \widehat {AFN} = {90^0}
\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AEM = \Delta AFN$  (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$EM=FN$$\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{AFN}$  (2 góc tương ứng) hay $\widehat{MBA}=\widehat{ACN}\ (1)\ $

Mà $\Delta BMA=\Delta CAN\ (cmt)\Rightarrow \widehat{AMB}=\widehat{NAC}\ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow \widehat{ANC}=\widehat{NAC}\Rightarrow \Delta ANC$ cân tại $C$$\Rightarrow AC=AN$.

Mà $CN=AB\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC$cân tại$A$ $\left( fcm \right)$.