Vì vai trò của $a,b,c$  là như nhau cho nên ta có thể giả sử rằng: $0<a\leq b\leq c$

Đặt $S=a+b+c$, bất đẳng thức cần chứng minh tương đuơng với:

$(S+3a)(S+3b)(S+3c)>25S(S-a)(S-b)(S-c)$

$\Leftrightarrow S^{3}+2S^{2}(a+b+c)+9S(ab+bc+ca)+27abc>25S^{3}-25S^{2}(a+b+c)+25S(ab+bc+ca)-25abc$$\Leftrightarrow 4S^{3}-16S(ab+bc+ca)+52abc>0$

$\Leftrightarrow S(S^{2}-4(ab+bc+ca))+13abc>0$

$\Leftrightarrow S((a+b-c)^{2}-4ab)+13abc>0$

$\Leftrightarrow S(a+b-c)^{2}+ab(13c-4S)>0$

Bất đẳng thức cuối đúng vì $13c-4S=13c-4(a+b+c)=9c-4(a+b)>0$