Cho $x,\text{ }y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=\dfrac{1}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}+\dfrac{1}{xy}$
Trung tâm gia sư điểm 10: <a href="https://giasudiem10.edu.vn/">https://giasudiem10.edu.vn/</a>
https://giasudiem10.edu.vn/
https://daykembinhduong.info/gia-su-binh-duong
Trung tâm gia sư Bình Dương: https://daykembinhduong.info/gia-su-binh-duong
trung tâm gia sư http://giasutuoitre.com/
Ta có: $B=\dfrac{1}{{{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{1-3xy}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1-2xy}{xy\left( 1-3xy \right)}$
Theo Cosy: $xy\le \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{1}{4}$
Gọi ${{B}_{0}}$ là một giá trị của $B$ , khi đó, $\exists x,y$để: ${{B}_{0}}=\dfrac{1-2xy}{xy\left( 1-3xy \right)}$
$\Leftrightarrow 3{{B}_{0}}{{\left( xy \right)}^{2}}-\left( 2+{{B}_{0}} \right)xy+1=0\left( 1 \right)$
Để tồn tại $x,\text{ }y$ thì (1) phải có nghiệm $xy$ $\Leftrightarrow \Delta ={{B}_{0}}^{2}-8{{B}_{0}}+4\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& {{B}_{0}}\ge 4+2\sqrt{3} \\
& {{B}_{0}}\le 4-2\sqrt{3} \\
\end{align} \right.$
Để ý rằng với giả thiết bài toán thì $B>0$ . Do đó ta có: ${{B}_{0}}\ge 4+2\sqrt{3}$
Với ${{B}_{0}}=4+2\sqrt{3}$
$\begin{align}
& \Rightarrow xy=\dfrac{2+{{B}_{0}}}{6{{B}_{0}}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6\left( 2+\sqrt{3} \right)}\Rightarrow x\left( 1-x \right)=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6\left( 2+\sqrt{3} \right)} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+\dfrac{3+\sqrt{3}}{6\left( 2+\sqrt{3} \right)}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2},\,\,x=\dfrac{1-\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2} \\
\end{align}$
Vậy, ${{B}_{\min }}=4+2\sqrt{3}$, đạt được khi $x=\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2},\,\,\,y=\dfrac{1-\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}-1}{2}$
Hoặc $x=\dfrac{1-\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2},\,\,\,y=\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}-1}{2}$
