User Avatar
Tài khoản
User Avatar
Avatar
Chia sẻ của bạn ...
Gửi
Trang Đỗ Thị Huyền
Trang Đỗ Thị Huyền lúc 03:59 ngày 09.06.2019
Chứng minh bất đẳng thức?

Cho $a,b,c$  là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3b$
Chứng minh rằng $\dfrac{1}{(a+1)^{2}}+\dfrac{4}{(b+2)^{2}}+\dfrac{8}{(c+3)^{2}}\geq 1$

Bạn cần phải đăng nhập thì mới có thể gửi câu trả lời!
Trang Đỗ Thị Huyền
Trang Đỗ Thị Huyền
Trả lời lúc 03:59 ngày 09.06.2019

Theo giả thiết ta có $3b\geq (\dfrac{b^{2}}{2})+(\dfrac{b^{2}}{4}+c^{2})+(\dfrac{b^{2}}{4}+c^{2})$

Mà $\dfrac{b^{2}}{4}+c^{2}\geq bc$ và $\dfrac{b^{2}}{4}+a^{2}\geq ab$

Suy ra $3b\geq \dfrac{b^{2}}{2}+bc+ab$$\Rightarrow 3 \geq \dfrac{b}{2}+a+c$ $(1)$

 Ta có:$P=\dfrac{1}{(a+1)^{2}}+\dfrac{4}{(b+2)^{2}}+\dfrac{4}{(c+3)^{2}}+\dfrac{4}{(c+3)^{2}}$$\geq \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+3}+\dfrac{2}{c+3})^{2}$$=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{\dfrac{b}{2}+1}+\dfrac{4}{c+3})^{2}$$\geq \dfrac{1}{4}(\dfrac{(1+1+2)^{2}}{a+1+\dfrac{b}{2}+1+c+3})^{2}$$\Rightarrow P \geq \dfrac{1}{4}(\dfrac{(1+1+2)^{2}}{a+1+\dfrac{b}{2}+1+c+3})^{2}$  $(2)$

Sử dụng $(1)$ thì ta được $\dfrac{1}{4}(\dfrac{(1+1+2)^{2}}{a+1+\dfrac{b}{2}+1+c+3})^{2} \geq \dfrac{1}{4}(\dfrac{4^{2}}{3+5})^{2}= 1$  $(3)$

 Từ $(2)$ và $(3)$ thì ta được $P \geq 1$. Đẳng thức xảy ra khi $a=c=1, b=2$

Rao vặt miễn phí toàn quốc