User Avatar
Tài khoản
User Avatar
Avatar
Chia sẻ của bạn ...
Gửi
Trang Đỗ Thị Huyền
Trang Đỗ Thị Huyền lúc 03:56 ngày 09.06.2019
Chứng minh bất đẳng thức?

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a+b}{c} \geq 2.\sqrt{(a+b+c)(\dfrac{a}{bc} +\dfrac{b}{ca}+ \dfrac{c}{ab})}$

Bạn cần phải đăng nhập thì mới có thể gửi câu trả lời!
Trang Đỗ Thị Huyền
Trang Đỗ Thị Huyền
Trả lời lúc 03:57 ngày 09.06.2019

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

   $abc(a+b+c)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 2\sqrt{abc(ab+bc+ca)(ab^2+bc^2+ca^2)}$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

$\begin{matrix} 2\sqrt{abc(ab+bc+ca)(ab^2+bc^2+ca^2)} & \leq ac(ab+bc+ca)+b(ab^2+bc^2+ca^2)\\ & =a^2bc+abc^2+a^2c^2+ab^3+b^2c^2+a^2bc \end{matrix}$

Ta cần chứng minh: $a^2b^2+ab^2c \geq ab^3+a^2bc \Leftrightarrow ab(c-b)(b-a) \geq 0$

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a = b = c$

Rao vặt miễn phí toàn quốc