Từ điều kiện $ab+bc+ca=1$ ta có được: $1 \ge ab , 1 \ge bc , 1 \ge ca$.Trong 3 số dương $a,b,c$  bất kỳ luôn có 2 số nằm cùng phía so với $1$, ta giả sử 2 số đó là $a,b$ . Từ đó suy ra:

$(a-1)(b-1)\ge 0$$\Rightarrow 1+ab \ge a+b$$\Rightarrow 2 \ge 1+ab \ge a+b$

Ta có: $ab+bc+ca=1 \Rightarrow c=\dfrac{1-ab}{a+b} \ge 0$

Thay $c=\dfrac{1-ab}{a+b}$ vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được:

$\dfrac{1}{a+b} + \dfrac{a+b}{1+b^2} + \dfrac{a+b}{1+a^2} \ge \dfrac{5}{2}$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(a+b)^2} + \dfrac{1}{1+b^2} + \dfrac{1}{1+a^2} \ge \dfrac{5}{2(a+b)}$

Theo $AM - GM$ ta có: $\dfrac{1}{1+b^2} + \dfrac{1}{1+a^2} = 1 - \dfrac{b^2}{1+b^2}+1 - \dfrac{a^2}{1+a^2} \ge 1 - \dfrac{b}{2}+1 - \dfrac{a}{2}=2-\dfrac{a+b}{2}$

 Ta cần chứng minh: $\dfrac{1}{(a+b)^2}+2-\dfrac{a+b}{2} \ge \dfrac{5}{2(a+b)}$

                               $\Leftrightarrow \dfrac{1}{(a+b)^3}+\dfrac{2}{a+b}-\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{5}{2(a+b)^2}$

Đặt $x=\dfrac{1}{a+b} \ge \dfrac{1}{2}$ , bất đẳng thức trên trở thành:$x^3 + 2x - \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{5}{2}x^2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(x-1)^2(2x-1) \ge 0$

Bất đẳng thức trên đúng với mọi $x \ge \dfrac{1}{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=1,c=0$ và các hoán vị tương ứng