Bổ đề: $a^x-1 \vdots p$ và $a^y-1 \vdots p$ với $x$ min thì $x|y$
TH1: $x=0$ khi ấy loại
TH2: $x>0$,
-Nếu $y=0$ thì $28^x=1+87^z$ thấy $87^z+1 \equiv 1 \pmod{29} \Rightarrow 28^x \equiv 1 \pmod{29}$
Nên $x=2k$ nên $(28^k-1)(28^k+1)=87^z$ $(*)$
Thấy $gcd(28^k-1,28^k+1)=1$ và $28^k+1 \not \vdots 3$ nên $28^k+1=1$ hoặc $28^k+1=29^z$ thấy $28^k+1=1$ loại
Do đó $28^k+1=29^z$ khi ấy $28^k-1=3^z$
Suy ra $29^z-3^z=2$ bằng quy nạp cm với mọi $z>0$ thì $29^z-3^z>2$ nên loại
-Nếu $y>0$ thì ta lại có $z>0$ vì ngược lại $28^x=19^y+1$ thấy $19^y+1 \equiv 2 \pmod{3}$ còn ${{28}^{x}}\equiv 1\left( \bmod 3 \right)$ vô lí
Do đó $y>0$ thì $z>0$
Như vậy $28^x=19^y+87^z$ với $x,y,z>0$ nguyên dương
Ta có $19^y+87^z \equiv 3^y+3^z \pmod{4}$ mà $28 \vdots 4$ do đó $z-y$ lẻ hay $z,y$  không cùng tính chẵn lẻ
$x$ chẵn suy ra $28^x \equiv (-1)^x \equiv 1 \pmod{29}$ nên $19^y \equiv 1 \pmod{29} \Rightarrow 19^y-1 \vdots 29$ ta dễ cm $19^{28}-1 \vdots 29$ và 28 là số nhỏ nhất thỏa mãn điều trên do đó $y \vdots 28$
Ta lại có $28^x \equiv 1 \pmod{27}$ mà $y$ chẵn và $z,y$ không cùng tính chẵn lẻ suy ra $z=1,3,...$ nhưng nếu $z=1$ thì $19^y+87 \equiv 1+3 \equiv 4 \pmod{9}$ vô lí vì $28^x \equiv 1 \pmod{9}$ như vậy $z\geq 3$ nên $87^z \vdots 27$ do đó $19^y \equiv 1 \pmod{27}$ nên $19^y-1 \vdots 27$ nên $y \vdots 3$ mà $y$ chẵn do đó $y \vdots 6$ như vậy $19^y \equiv 1 \pmod{7}$ (do $y \vdots 6$) kết hợp $7|28$ suy ra $87^z \equiv 6 \pmod{7}$ suy ra $z \vdots 3$ khi ấy $87^z \equiv 87^3 \equiv 1 \pmod{19}$ do đó $28^x \equiv 1 \pmod{19}$ dễ cm 18 là số nhỏ nhất thỏa $28^{18}-1 \vdots 19$ nên theo bổ đề $x \vdots 18$ hay $x \vdots 3$
Như vậy $x,z \vdots 3$ đặt $x=3u,z=3v$ suy ra đặt $28^u=m,87^v=n$ thì $m^3=19^z+n^3 \Rightarrow (m-n)(m^2+mn+n^2)=19^z$ dễ thấy $gcd(m,n)=1$ và $19^z \not \vdots 3$ nên $gcd(m-n,m^2+mn+n^2)=1$ nên $m-n=1$ hoặc $m^2+mn+n^2=1$ vì $m,n>0$ nên $m-n=1$ và khi ấy $28^u-87^v=1$ mặt khác $x \vdots 18 \rightarrow u \vdots 2$ nên $u=2k$ do đó $(28^k-1)(28^k+1)=87^v$ cm tương tự $(*)$ suy ra vô nghiệm
Khi $x$ lẻ khi ấy $28^x \equiv -1 \pmod{29}$ nên $19^y \equiv -1 \pmod{29} \Rightarrow 19^y+1 \vdots 29$ hay $19^{2y}-1 \vdots 29$ vì 28 là số nhỏ nhất $19^{28}-1 \vdots 29$ suy ra $2y \vdots 28 \Rightarrow y$ chẵn mà $z,y$  khác tính chẵn lẻ nên $z$ lẻ, cm tương tự trên $87^z \equiv 0 \pmod{27}$ và $28^x \equiv 1 \pmod{27}$ cũng suy ra $y \vdots 3$ mà $y \vdots 2$ nên $y \vdots 6$ nên $19^y \equiv 1 \pmod{7}$ do đó $87^z \equiv -1 \pmod{7}$ nên $z \vdots 3$
Đặt $y=3u,z=3v$ và $19^u=a,87^v=b$ suy ra $28^x=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ cm tương tự $gcd(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ nên $a+b=1$ hoặc $a^2-ab+b^2=1$ nhưng $a,b>0$ nên $a^2-ab+b^2=1$ giải ptnn suy ra $a=b=1$ hay $u=v=0$ hay $y=z=0$ khi ấy $28^x=2$ loại
Vậy phương trình vô nghiệm