Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{({x^3} + {y^3} + {z^3})({x^2} + {y^2} + {z^2}) = 3({x^5} + {y^5} + {z^5})}\\
{x + y + z = 2009t}
\end{array}} \right.$
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$(x^5+y^5+z^5)(x+y+z)\geq (x^3+y^3+z^3)^2$
$(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)\geq (x^2+y^2+z^2)^2$
$3(x^2+y^2+z^2)^2\geq (x+y+z)^2$
Nhân vế vs vế 3 BDT trên ta được: $3(x^5+y^5+z^5)\geq (x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)$
Từ pt $1$ ta suy ra $x=y=z$
Thay vào pt $2$: $3x=2009t\Rightarrow x\vdots 2009,x=2009k,t=3k$
Kết luận: $(x,y,z,t)=(2009k,2009k,2009k,3k)$, $k=1,2,...$
