User Avatar
Tài khoản
User Avatar
Avatar
Chia sẻ của bạn ...
Gửi
Trang Đỗ Thị Huyền
Trang Đỗ Thị Huyền lúc 05:44 ngày 03.06.2019
Tìm nghiệm nguyên của phương trình?

Tìm nghiệm nguyên dương phương trình $5(x+y+z+t)+15=2xyzt$

Bạn cần phải đăng nhập thì mới có thể gửi câu trả lời!
Trang Đỗ Thị Huyền
Trang Đỗ Thị Huyền
Trả lời lúc 05:46 ngày 03.06.2019

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\geq t> 0$
phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2=\dfrac{5}{yzt}+\dfrac{5}{xzt}+\dfrac{5}{xyt}+\dfrac{5}{xyz}+\dfrac{15}{xyzt}\leq \dfrac{35}{t^{3}}$
$\Rightarrow t^{3}\leq \dfrac{35}{2}\Rightarrow t\leq 2\Rightarrow t\in \left \{ 1;2 \right \}$
+) Với $t=1$ ta có $2=\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{xz}+\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{xyz}+\dfrac{15}{xyz}\leq \dfrac{35}{z^{2}}$
$\Rightarrow z^{2}\leq \dfrac{35}{2}\Rightarrow z\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$
Với $z=1$ ta có
 $5(x+y)+25=2xy$$ \Leftrightarrow (2x - 5)(2y - 5) = 75 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 5}&{}\\
{y = 10}&{}
\end{array}} \right.$

hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4}&{}\\
{y = 15}&{}
\end{array}} \right.$
Ta có nghiệm là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng
Với $z=2;z=3;z=4$ phương trình vô nghiệm nguyên dương
+) Với $t=2$ ta có $5(x+y+z)+25=4xyz$
$\Leftrightarrow 4=\dfrac{5}{xy}+\dfrac{5}{yz}+\dfrac{5}{xz}+\dfrac{25}{xyz}\leq \dfrac{40}{z^{2}}\Leftrightarrow z^{2}\leq 10\Leftrightarrow z\in \left \{ 1;2;3 \right \}$
Với $z=1$ ta có $t\leq z\Rightarrow t=1$ (vô lý)
Với $z=2$ ta có $(8x-5)(8y-5)=305$
Vì $x\geq y\geq z\geq t\geq 2$ nên $8x-5\geq 8y-5\geq 11$
Mà 305 không viết được thành tích 2 số nguyên thỏa mãn ĐK trên
Vơi $z=3$ cũng không có số nguyên nào thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng

 

Rao vặt miễn phí toàn quốc