Ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3{x^2} + 54 = 2{y^2} + 4{z^2}}\\
{5{x^2} + 74 = 3{y^2} + 7{z^2}}
\end{array}} \right.(1)$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{15{x^2} + 270 = 10{y^2} + 20{z^2}}\\
{15{x^2} + 222 = 9{y^2} + 21{z^2}}
\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow y^2-z^2=48$
$\Leftrightarrow (y-z)(y+z)=48=2^4.3$
Vì $y$ và $z$ là $2$ số nguyên không âm nên $y>z$ $\Rightarrow$ $0<y-z<y+z$
Dễ thấy $y$ và $z$ cùng tính chẵn lẻ nên $y-z$ và $y+z$ là $2$ số chẵn.
Do đó ta chỉ xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1 :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y - z = 6}\\
{y + z = 8}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 7}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.$

Thay vào $(1)$ tính được $x=4$ $(x\neq -4$ vì $x$ không âm)
Trường hợp 2 :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y - z = 2}\\
{y + z = 24}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 13}\\
{z = 11}
\end{array}} \right.$

Thay vào $(1)$ tính được $x=16$ $(x\neq -16$ vì $x$ không âm$)
Trường hợp 3 :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y - z = 4}\\
{y + z = 12}
\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 8}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.$

Thay vào $(1)$ tính được $x=\pm \sqrt{46}$ (loại vì $x$ nguyên)

Do đó $x=4;$ $y=7;$ $z=1$ hoặc $x=16;$ $y=13;$ $z=11$
Mà để tổng $x+y+z$ nhỏ nhất thì $x=4;$ $y=7;$ $z=1.$
Vậy $(x;y;z)=(4;7;1)$