Ta có: ${{x}^{6}}-{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}={{y}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow ({{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+1)-({{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1)={{y}^{2}}\Leftrightarrow {{({{x}^{3}}+1)}^{2}}-{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}={{y}^{2}}$

$\Leftrightarrow ({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2)({{x}^{3}}+{{x}^{2}})={{y}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x+1)({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}+2)={{y}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x+1)[{{x}^{2}}(x+1)-2(x-1)(x+1)]={{y}^{2}}$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{(x+1)}^{2}}({{x}^{2}}-2x+2)={{y}^{2}}$
Với $x=0 \Rightarrow y=0$.
Với $x \ne 0$, nhận thấy VP là số chính phương và $x^2(x+1)^2$ cũng là số chính phương nên $x^2-2x+2$ là số chính phương. Đặt $x^2-2x+2=k^2$ với $k \in \mathbb{N}$.
Khi đó $(x-1)^2+1=k^2 \Leftrightarrow (k-x+1)(k+x-1)=1$.
TH1. Với: $\begin{cases} k-x+1=1 \\ k+x-1=1 \end{cases} \Rightarrow x=1 \Rightarrow y \in \{2;-2 \}$.
TH2. Với: $\begin{cases} k+x-1 \\ k-x+1=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-1 \Rightarrow y=0$.
Phương trình có nghiệm nguyên: $(x;y)\in \{(0;0),(1;2),(1;-2),(-1;0)\}$