Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x(x^2+x+1)=4y(y+1) \qquad (1)$
Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x^{3} \right )^{2} + \left ( x^{3} - y \right )^{2} = 320$.
Đặt $u = x^{3}$ , $v = x^{3} - y$. Ta có : $u^{2} + v^{2} = 320$. Do 320 là số chẵn nên $u$ và $v$ có cùng tính chẵn lẻ.
Giả sử $u$ , $v$ cùng lẻ, thế thì ${{u}^{2}}\equiv 1\left( \bmod \,4 \right)$ và ${{v}^{2}}\equiv 1\left( \bmod \,4 \right)$$\Rightarrow$ ${{u}^{2}}+{{v}^{2}}\equiv 2\left( \bmod \,4 \right)$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \neq 320$, vô lý. Vậy $u$ và $v$ cùng chẵn.
Đặt $u = 2u_{1}$ , $v = 2v_{1}$, thay vào ta được $u_{1}^{2} + v_{1}^{2} = 80$. Lập luận tương tự, ta lại có $u_{1}$ và $v_{1}$ cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt $u_{1} = 2u_{2}$,$v_{1} = 2v_{2}$, và lại suy ra $u_{2}$ và $v_{2}$ cung chẵn $\left ( u_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 20 \right )$.
Đặt $u_{2} = 2u_{3}$,$v_{2} = 2v_{3}$, ta lại được $u_{3}^{2} + v_{3}^{2} = 5$. Do $u$ là lập phương của một số nguyên và $u = 2^{3}u_{3}$, nên suy ra $u_{3}$ cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp $u_{3}$ ,$v_{3}$ thỏa mãn phương trình trên là : $\left ( 1, 2 \right ) ; \left ( -1, 2 \right ) ; \left ( 1, -2 \right ) ; \left ( -1, -2 \right )$.
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm $\left ( x, y \right )$ của phương trình đã cho là : $\left ( 2, -8 \right ) ; \left ( 2, 24 \right ) ; \left ( -2, -24 \right ) ; \left ( -2, 8 \right )$.
Cách 2.
Ta có pt đã cho tương đương với:$(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$
Vì $x,y$ nguyên nên 320 là tổng của $2$ số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$ hoặc $320=16^2+(-8)^2$.
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}=8$ hoặc $x^3=-8$, suy ra $x=2$ hoặc $x=-2$
+)Với $x=2$ ta có: $64+(8-y)^{2}=320$, suy ra $y=24$ hoặc $y=-8$
+)Với $x=-2$ ta có: $64+(-8-y)^{2}=320$, suy ra $y=8$ hoặc $y=-24$
Ta có $(1) \Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$
Vì $2y+1$ là số lẻ nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số lẻ.
Đặt $(x^2+1,x+1)=d$, thì $d$ lẻ.
Lại có $x+1 \ \vdots d \Rightarrow x^2-1 \ \vdots d$ mà $x^2+1 \ \vdots d$ nên $2 \ \vdots d$. Do đó $d=1$.
Vậy $(x^2+1,x-1)=1$, nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số chính phương.
Ta thấy $x^2$ là số chính phương và $x^2+1$ cũng là số chính phương nên chỉ có thể $x=0$. Khi đó $y=0$. Ta tìm được nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là $(x;y)=(0;0)$