Cách 1:

$x^{2007}-9x^{2005}+5x^2-14x-3=0$
$\Leftrightarrow x^{2005}(x^{2}-9)+5x^{2}-15x+x-3=0$
$\Leftrightarrow x^{2005}(x-3)(x+3)+5x(x-3)+x-3=0$
$\Leftrightarrow (x^{2006}+3x^{2005}+5x+1)(x-3)=0$
Tiếp tục phân tích $x^{2006}+3x^{2005}+5x+1$ $(1)$
Nếu phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên thì đó sẽ là ước của $1$ là $\pm 1$ thế $\pm 1$ vào phương trình $(1)$, thì phương trình $(1)$ khác $0$ vậy $(1)$ không có nghiệm nguyên.
Vậy phương trình có $1$ nghiệm nguyên duy nhất là $3$.$S=\left \{ 3 \right \}$

Cách 2: Xét đa thức $P(x)=x^{2006}+3x^{2005}+5x+1$
$P(x)<0$ với $x \in \{-1;-2;-3 \}$.
$P(x)>0$ với $x \ge 0$ hoặc $x \le -4$.
Vậy $P(x) \ne 0$ với mọi $x \in \mathbb{Z}$, nên $x=3$.