Do $\dfrac{{{m}^{3}}+{{n}^{3}}+1}{mn(m-n)}$  là số nguyên nên $m^3+n^3+1\vdots (mn(m-n))\quad (*)$.
Suy ra, ${{m}^{3}}+{{n}^{3}}+1\vdots m\Leftrightarrow n\equiv -1(\bmod \,m)$
và ${{m}^{3}}+{{n}^{3}}+1\vdots n\Leftrightarrow m\equiv -1(\bmod \,n)$.
Do đó, $m-n\equiv -1(\bmod \,n);m-n\equiv 1(\bmod \,m).$
TH1: $m>n$ ta có $m-n=pm+1\Leftrightarrow m(1-p)=n+1$ suy ra $p=0, m=n+1$.
Thay vào (*) ta được $(n+1)^3+n^3+1\vdots n(n+1)\Leftrightarrow 2(n^3+1)\vdots n(n+1)$
$\Leftrightarrow 2(n^2-n+1)\vdots n\Leftrightarrow n=1;n=2.$ Thay vào ta được $m=2;m=3$.
TH2: $n>m$ ta có $m-n=qn-1\Leftrightarrow (q+1)n=m+1$ suy ra $q=0;n=m+1$
Tương tự ta cũng dc $m=1;m=2$ và thay vào được $n=2;n=3$
Vậy nghiệm $(m;n)$ là $(1;2),(2;1),(2;3),(3;2)$