Ta có: $\dfrac{x+y}{x+y+1}=1-\dfrac{1}{x+y+1}$

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\dfrac{1}{x+y+1}+\dfrac{1}{y+z+1}+\dfrac{1}{z+x+1}\leq 1$

Đặt $x=a^{3},y=b^{3},z=c^{3}$, ta có $abc=1$ và bất đẳng thức trên tương đương:

$\dfrac{1}{1+a^{3}+b^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}+c^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}+a^{3}}\leq 1$

Ta có: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq ab(a+b)$

Do đó: $a^{3}+b^{3}+1\geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$ nên $\dfrac{1}{1+a^{3}+b^{3}}\leq \dfrac{c}{a+b+c}$

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh.