Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3b$. Tìm GTNN: P= $\dfrac{1}{(a+1)^{2}}+\dfrac{4}{(b+2)^{2}}+\dfrac{8}{(c+3)^{2}}$
Áp dụng BĐT $\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{p^2}\geq \dfrac{8}{(t+p)^2}$, ta có $P=\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(\dfrac{b}{2}+1)^2}+\dfrac{8}{(c+3)^2}\geq \dfrac{8}{(a+\dfrac{b}{2}+2)^2}+\dfrac{8}{(c+3)^2}\geq \dfrac{64}{(a+\dfrac{b}{2}+c+5)^2}$(1)
Từ giả thiết, ta có:
$3b+6\geq (a^2+1)+(b^2+4)+(c^2+1)\geq 2a+4b+2c\Rightarrow 6\geq 2a+b+2c\Rightarrow 3\geq a+\dfrac{b}{2}+c$(2)
Từ (1) và (2) suy ra GTNN của $P$ là 8.
