Cho $a,b,c$ là các số dương và $ab+bc+ca=2abc$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a(2a-1)^{2}}+\dfrac{1}{b(2b-1)^{2}}+\dfrac{1}{c(2c-1)^{2}}\geq \dfrac{1}{2}$
ĐK : $a,b,c\neq \dfrac{1}{2}$ . Chia cả 2 vế của giả thiết cho $abc \neq 0$ ta được: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2$
$\dfrac{1}{a(2a-1)^2}\geq \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2}$$\Leftrightarrow \dfrac{2+(a-2)(2a-1)^2}{2a(2a-1)^2}\geq 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{a(2a-3)^2}{2a(2a-1)^2}\geq 0$. Điều này đúng vì $a\neq \dfrac{1}{2}$ ; $a> 0$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{3}{2}$
