Cách 1:

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: $P=\dfrac{a^{2}}{bc}+\dfrac{b^{2}}{ca}+\dfrac{c^{2}}{ab}\leq 5$

Do vai trò bình đẳng của $a,b,c$  nên giả sử: $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$. Khi đó: $(a-b)(b^{2}-c^{2})\geq 0$

                                     $\Leftrightarrow b^{3}\leq ab^{2}+bc^{2}-ac^{2}$

                                     $\Leftrightarrow \dfrac{b^{2}}{ca}\leq \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{c}{b}$           

Mặt khác, ta có: $\dfrac{a^{2}}{bc}\leq \dfrac{a^{2}}{ac}=\dfrac{a}{c}$ và $\dfrac{c^{2}}{ab}\leq \dfrac{2c}{ab}=\dfrac{2c}{b}$

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: $P\leq \left ( \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right )+\left ( \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \right )$

Vì $b\leq c\leq 2\leq 2b$ nên $\dfrac{2b}{c}\geq 1, \dfrac{c}{b}\geq 1>\dfrac{1}{2}$

Do đó: $\left ( \dfrac{2b}{c}-1 \right )\left ( \dfrac{c}{b}-\dfrac{1}{2} \right )\geq 0\Rightarrow \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\leq \dfrac{5}{2}$

Tương tự ta có: $\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\leq \dfrac{5}{2}$

Do đó ta có: $P\leq 5$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1, c=2$ và các hoán vị

Cách 2:

Giả sử $a\geq b\geq c$

Dễ thấy $(a-2))(a^{2}+2a-1)\leq 0\Leftrightarrow a^{3}+2\leq 5a$

$(b-1)(b^{2}+b+1-5a)\leq 0\Leftrightarrow 5a+b^{3}\leq 5ab+1$

$(c-1)(c^{2}+c+1-5ab)\leq 0\Leftrightarrow 5ab+c^{3}\leq 5abc+1$

 (Vì $b^{2}+b+1\leq a^{2}+a+1\leq 5a$)