Cho $a,b,c$ là ba số thực dương và $a+b+c=1$ . Tìm GTLN của :
$P = \sqrt {\dfrac{{ab}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)}}} + \sqrt {\dfrac{{bc}}{{\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)}}} + \sqrt {\dfrac{{ca}}{{\left( {1 - c} \right)\left( {1 - a} \right)}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$P\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}+\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c})=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1-a}{1-a}+\dfrac{1-b}{1-b}+\dfrac{1-c}{1-c})=\dfrac{3}{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ .
