Cho 2 số thực khác nhau $a;b$ . Chứng minh: $\dfrac{(a-b)^4}{a^4+6a^2b^2+b^4}+\dfrac{4ab}{(a-b)^2} \geq 1$
Sử dụng hằng đẳng thức ta có:
BĐT $\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}-4ab({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}{{{a}^{4}}+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}}+\dfrac{4ab}{{{(a-b)}^{2}}}\ge 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{ab}{{{(a-b)}^{2}}}\ge \dfrac{ab({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$
$\Leftrightarrow ab({{a}^{4}}+{{b}^{4}}+6{{a}^{2}}{{b}^{2}})\ge ab({{a}^{2}}+{{b}^{2}}){{(a-b)}^{2}}$
$\Leftrightarrow ab\left[ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}) \right]\ge 0$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}.(2ab+{{a}^{2}}+{{b}^{2}})\ge 0$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{(a+b)}^{2}}\ge 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi $a,b$
Đẳng thức xảy ra khi $a=0,b=0$ hoặc $a+b=0$
