Ứng dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên

Ta thấy phương trình đa biến khi giải trên tập số thực thì rất khó để giải được, đôi khi ta bế tắc, nhưng sự kỳ diệu đối với phương trình đa biến đó trên tập số nguyên thì ta lại dễ dàng giải được. Nguyên lí kẹp là một công cụ hữu hiệu để giải phương trình nghiệm nguyên.

1. Cơ sở lý thuyết.
   Cho $ x,y,n \in N $, khi đó ta có:
   a) $x < y < x +2 \Rightarrow y=x+1$
   b) $x^n < y^n < (x+2)^n \Rightarrow y^n = (x+1)^n$
   c) $x(x+1) < y(y+1) < (x+2)(x+3) \Rightarrow y=x+1$
    
2. Nhận dạng bài toán áp dụng
   Những phương trình nghiệm nguyên đa biến và đồng bậc hoặc có thể đưa về đồng bậc thì có thể áp dụng nguyên lý kẹp để giải.
   Sau đây là những ví dụ minh họa.
    
3. Bài tập áp dụng
   
   Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^4-y^4=3y^2+1$  (1)
   
   Lời giải
   Phương trình (1) $\Leftrightarrow x^4=y^4+3y^2+1 \Leftrightarrow (x^2)^2 = (y^2)^2 +3y^2+1$
   - Xét hiệu: $x^4-(y^2+1)^2 = y^4+3y^2+1-y^4-2y^2-1 = y^2 \geq 0$  (2)
   - Xét hiệu: $(y^2+2)^2 - x^4 = y^4+4y^2+4-y^4-3y^2-1 = y^2+3 > 0$  (3)
   Từ (2) và (3) suy ra: $(y^2+1)^2<x^4<(y+2)^2$, cộng với $x,y\in Z$ ta được $x^4=(y^2+1)^2$.
   Khi đó ta có phương trình: $(y^2+1)^2=y^4+3y^2+1 \Leftrightarrow y^4+2y^2+1 = y^4 +3y^2+1 \Leftrightarrow y=0 \Rightarrow x=0$.
   Vậy nghiệm $(x;y)$ của phương trình là: $(1;0) và (-1;0)$
   
   Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
            $x^4+x^2-y^2+y+10=0$    (*)
   
   
   Lời giải
   
   Phương trình (*) $\Leftrightarrow x^4+x^2+1= y^2-y$
                               $= y(y-1)>x^2(x^2+1)$    (1)
   - Xét hiệu $(x^2+3)(x^2+4)-y(y-1)$
                    $=6x^2+2>0, \forall x \in Z$
                     $\Rightarrow y(y-1) < (x^2+3)(x^+4)$   (2)
   Từ (1) và (2) suy ra: $x(x^2+1) < y(y-1)<(x^2+3)(x^2+4)$, kết hợp với $x,y \in Z$ ta được:
   
   $
   \Bigg[
      \begin{align*}
        (y-1)y=(x^2+2)(x^2+1) \\
        (y-1)y=(x^2+2)(x^2+3)
     \end{align*}
   $
   
   $
   \Leftrightarrow \Bigg[
     \begin{align*}
      x^4+x^2+10=x^4+3x^2+2 \\
      x^4+x^2+10=x^4+5x^2+6
    \end{align*}
   $
   
   $
   \Leftrightarrow \Bigg[
    \begin{align*}
     2x^2 = 8 \\
     4x^2=4
    \end{align*}
   $
   $
   \Leftrightarrow \Bigg[
    \begin{align*}
     x = \pm 2 \\
     x= \pm 1
    \end{align*}
   $
   
   - Với $x=\pm2$ thì $y=6$ hoặc $y=-5$
   - Với $x=\pm1$ thì $y=4$ hoặc $y=-3$
   Vậy nghiệm $(x,y)$ của phương trình (*) là:
   $(\pm2,6);  (\pm2,-5); (\pm 1, 4); (\pm 1, -3)$