User Avatar
Tài khoản
User Avatar
Bài viết Phương pháp giải toán Ứng dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên

Ứng dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên

Ta thấy phương trình đa biến khi giải trên tập số thực thì rất khó để giải được, đôi khi ta bế tắc, nhưng sự kỳ diệu đối với phương trình đa biến đó trên tập số nguyên thì ta lại dễ dàng giải được. Nguyên lí kẹp là một công cụ hữu hiệu để giải phương trình nghiệm nguyên.

  1. Cơ sở lý thuyết.
    Cho $ x,y,n \in N $, khi đó ta có:
    a) $x < y < x +2 \Rightarrow y=x+1$
    b) $x^n < y^n < (x+2)^n \Rightarrow y^n = (x+1)^n$
    c) $x(x+1) < y(y+1) < (x+2)(x+3) \Rightarrow y=x+1$
     
  2. Nhận dạng bài toán áp dụng
    Những phương trình nghiệm nguyên đa biến và đồng bậc hoặc có thể đưa về đồng bậc thì có thể áp dụng nguyên lý kẹp để giải.
    Sau đây là những ví dụ minh họa.
     
  3. Bài tập áp dụng

    Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^4-y^4=3y^2+1$  (1)

    Lời giải
    Phương trình (1) $\Leftrightarrow x^4=y^4+3y^2+1 \Leftrightarrow (x^2)^2 = (y^2)^2 +3y^2+1$
    - Xét hiệu: $x^4-(y^2+1)^2 = y^4+3y^2+1-y^4-2y^2-1 = y^2 \geq 0$  (2)
    - Xét hiệu: $(y^2+2)^2 - x^4 = y^4+4y^2+4-y^4-3y^2-1 = y^2+3 > 0$  (3)
    Từ (2) và (3) suy ra: $(y^2+1)^2<x^4<(y+2)^2$, cộng với $x,y\in Z$ ta được $x^4=(y^2+1)^2$.
    Khi đó ta có phương trình: $(y^2+1)^2=y^4+3y^2+1 \Leftrightarrow y^4+2y^2+1 = y^4 +3y^2+1 \Leftrightarrow y=0 \Rightarrow x=0$.
    Vậy nghiệm $(x;y)$ của phương trình là: $(1;0) và (-1;0)$

    Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
             $x^4+x^2-y^2+y+10=0$    (*)


    Lời giải

    Phương trình (*) $\Leftrightarrow x^4+x^2+1= y^2-y$
                                $= y(y-1)>x^2(x^2+1)$    (1)
    - Xét hiệu $(x^2+3)(x^2+4)-y(y-1)$
                     $=6x^2+2>0, \forall x \in Z$
                      $\Rightarrow y(y-1) < (x^2+3)(x^+4)$   (2)
    Từ (1) và (2) suy ra: $x(x^2+1) < y(y-1)<(x^2+3)(x^2+4)$, kết hợp với $x,y \in Z$ ta được:

    $
    \Bigg[
       \begin{align*}
         (y-1)y=(x^2+2)(x^2+1) \\
         (y-1)y=(x^2+2)(x^2+3)
      \end{align*}
    $

    $
    \Leftrightarrow \Bigg[
      \begin{align*}
       x^4+x^2+10=x^4+3x^2+2 \\
       x^4+x^2+10=x^4+5x^2+6
     \end{align*}
    $

    $
    \Leftrightarrow \Bigg[
     \begin{align*}
      2x^2 = 8 \\
      4x^2=4
     \end{align*}
    $
    $
    \Leftrightarrow \Bigg[
     \begin{align*}
      x = \pm 2 \\
      x= \pm 1
     \end{align*}
    $

    - Với $x=\pm2$ thì $y=6$ hoặc $y=-5$
    - Với $x=\pm1$ thì $y=4$ hoặc $y=-3$
    Vậy nghiệm $(x,y)$ của phương trình (*) là:
    $(\pm2,6);  (\pm2,-5); (\pm 1, 4); (\pm 1, -3)$

Bài viết khác

Các công thức về căn bậc 2

Các công thức về căn bậc 2

Ngày đăng 06/10/2018

Các công thức về căn bậc 2

“Chiến thuật” làm tốt bài thi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc gia

“Chiến thuật” làm tốt bài thi trắc nghiệm môn Toán THPT Quốc gia

Ngày đăng 24/05/2018

Các em học sinh khối 12 sắp bước vào một trong những kỳ thi quan trọng nhất của đời học sinh. Cùng với quá trình ôn thi vừa qua, việc tận dụng tốt thời gian còn lại và có chiến lược thi cử hợp lý sẽ giúp các em có kết quả cao nhất với khả năng của mình.

Ứng dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên

Ứng dụng nguyên lý kẹp vào giải phương trình nghiệm nguyên

Ngày đăng 02/03/2018

Ta thấy phương trình đa biến khi giải trên tập số thực thì rất khó để giải được, đôi khi ta bế tắc, nhưng sự kỳ diệu đối với phương trình đa biến đó trên tập số nguyên thì ta lại dễ dàng giải được. Nguyên lí kẹp là một công cụ hữu hiệu để giải phương trình nghiệm nguyên.

Nhóm toan123.vn trên facebook