Bài 1. Cho 2 biểu thức $A=dfrac{x-3}{x}$ và $B=dfrac{x}{{{x}^{2}}-9}+dfrac{1}{x-3}+dfrac{1}{x+3}$. ĐKXĐ: $xne 0;,xne pm 3$
a) Tính giá trị của $A$ khi $left| 2x-1 right|=1$
b) Rút gọn biểu thức $P=A.B$
c) Tìm số nguyên $x$ lớn nhất để $P=A.B$ nhận giá trị âm.
Lời giải
a) ĐKXĐ: $xne 0;,xne pm 3$
Ta có :
Thay $x=1$ vào biểu thức $A$ ta được:
$A=dfrac{1-3}{1}=-2$
Vậy giá trị của $A=-2$ khi $left| 2x-1 right|=1$.
b) Với $xne 0;,xne pm 3$ ta có:
$P=A.B$$=dfrac{x-3}{x}.left( dfrac{x}{{{x}^{2}}-9}+dfrac{1}{x-3}+dfrac{1}{x+3} right)$
$=dfrac{x-3}{x}.left[ dfrac{x}{left( x-3 right)left( x+3 right)}+dfrac{x+3}{left( x-3 right)left( x+3 right)}+dfrac{x-3}{left( x-3 right)left( x+3 right)} right]$
$=dfrac{x-3}{x}.dfrac{3x}{left( x-3 right)left( x+3 right)}$
$=dfrac{3}{x+3}$
c) Với $xne 0;,xne pm 3$ ta có:
$P=A.B$ nhận giá trị âm$Leftrightarrow dfrac{3}{x+3}<0$$Leftrightarrow x+3<0$$Leftrightarrow x<-3$
Mà $x$là số nguyên lớn nhất $Leftrightarrow x=-4$ (thỏa mãn điều kiện $xne 0;,xne pm 3$)
Vậy $x=-4$ thì $P=A.B$ nhận giá trị âm
Bài 2. 1. Giải các phương trình:
a) $left| 2x+5 right|=7x+4$
b) $dfrac{x}{3x-2}-dfrac{x}{2+3x}=dfrac{6{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-4}$
2. Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
$dfrac{x+2}{4}-dfrac{x}{3}ge dfrac{4x-3}{6}+2$
Lời giải
1. Giải các phương trình:
a) $left| 2x+5 right|=7x+4$
Ta có: $left| 2x+5 right|=2x+5$nếu $2x+5ge 0Leftrightarrow xge dfrac{-5}{2}$
Ta có: $left| 2x+5 right|=-,2x-5$nếu $2x+5<0Leftrightarrow x<dfrac{-5}{2}$
Với $xge dfrac{-5}{2}$ khi đó phương trình đã cho trở thành:
$2x+5=7x+4$$Leftrightarrow -5x=-1$$Leftrightarrow x=dfrac{1}{5},(tm)$
Với $x<dfrac{-5}{2}$ khi đó phương trình đã cho trở thành:
$-2x-5=7x+4$$Leftrightarrow 9x=-9$$Leftrightarrow x=-1,(ktm)$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: $S={dfrac{1}{5}}$.
b) $dfrac{x}{3x-2}-dfrac{x}{2+3x}=dfrac{6{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-4}$
Đkxđ: $xne pm dfrac{2}{3}$
$dfrac{x}{3x-2}-dfrac{x}{2+3x}=dfrac{6{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-4}$
$Leftrightarrow dfrac{xleft( 3x+2 right)}{left( 3x+2 right)left( 3x-2 right)}-dfrac{xleft( 3x-2 right)}{left( 3x+2 right)left( 3x-2 right)}=dfrac{6{{x}^{2}}}{left( 3x+2 right)left( 3x-2 right)}$
$Leftrightarrow dfrac{3{{x}^{2}}+2x}{left( 3x+2 right)left( 3x-2 right)}-dfrac{3{{x}^{2}}-2x}{left( 3x+2 right)left( 3x-2 right)}=dfrac{6{{x}^{2}}}{left( 3x+2 right)left( 3x-2 right)}$
$Rightarrow 3{{x}^{2}}+2x-3{{x}^{2}}+2x=6{{x}^{2}}$
$Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-4x=0$
$Leftrightarrow 2xleft( 3x-2 right)=0$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S={0}$.
2. Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số
$dfrac{x+2}{4}-dfrac{x}{3}ge dfrac{4x-3}{6}+2$
$Leftrightarrow dfrac{3left( x+2 right)}{12}-dfrac{4x}{12}ge dfrac{2left( 4x-3 right)}{12}+dfrac{24}{12}$
$Leftrightarrow dfrac{3x+6-4x}{12}ge dfrac{8x-6+24}{12}$
$Leftrightarrow -x+6ge 8x+18$
$Leftrightarrow 9x,le ,-12$
$Leftrightarrow xle dfrac{-4}{3}$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=left{ x/xle dfrac{-4}{3} right}$
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số là:
Bài 3. 1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trong đợt dịch Covid 19 một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất $50$ dụng cụ y tế. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ sản xuất được hơn so với dự định là $7$ dụng cụ. Do đó, tổ sản xuất đã hoàn thành trước kế hoạch một ngày và còn làm thêm được $13$ dụng cụ y tế. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu dụng cụ y tế?
Một bể cá mini có dạng hình hộp chữ nhật (như hình vẽ) với chiều cao $8,text{dm}$, chiều rộng $3,text{dm}$ và chiều dài $5,text{dm}$. Người ta đổ vào bể cá $75,text{d}{{text{m}}^{text{3}}}$ nước.
a) Hỏi chiều cao của khối nước trong bể cá là bao nhiêu?
b) Thể tích phần bể cá không chứa nước.
(Lưu ý: Bể chưa thả cá và để đồ tranh trí)
Lời giải
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Gọi số dụng cụ mà tổ sản xuất theo kế hoạch là $x$(dụng cụ) . ĐK: $x,in N*$.
Số dụng cụ mà tổ sản xuất trên thực tế là $x+13$(dụng cụ) .
Theo kế hoạch, số ngày cần hoàn thành là: $dfrac{x}{50}$(ngày).
Theo thực tế, số ngày hoàn thành là:$dfrac{x+13}{57}$(ngày).
Theo giả thiết, tổ sản xuất đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:
$dfrac{x}{50}-dfrac{x+13}{57}=1$
$Leftrightarrow 57x-50x-650=2850$
$Leftrightarrow 7x=3500$
$Leftrightarrow x=500$(TMĐK)
Vậy theo kế hoạch tổ phải sản xuất $500$ dụng cụ y tế.
2)
a) Diện tích đáy bể là:
$S=3times 5=15,,left( text{d}{{text{m}}^{text{2}}} right)$
Chiều cao của khối nước trong bể cá là:
${{V}_{1}}=S.{{h}_{1}}Rightarrow {{h}_{1}}=dfrac{{{V}_{1}}}{S}=dfrac{75}{15}=5,left( text{dm} right)$
b) Thể tích bể cá là:
$V=8.5.3=120,left( text{d}{{text{m}}^{3}} right)$
Phần thể tích bể cá không chứa nước là:
$120-75=55,left( text{d}{{text{m}}^{3}} right)$
Bài 4. Cho tam giác${ABC}$vuông tại${A(AB<AC).}$ Vẽ đường cao${AH}$(${H}$ thuộc ${BC).}$
a) Chứng minh $Delta ABC$ đồng dạng với $Delta HBA$.
b) Gọi ${D}$ là điểm đối xứng với ${B}$ qua ${H.}$ Từ ${C}$ kẻ đường thẳng vuông góc với tia $AD$cắt tia ${AD}$ tại${E.}$ ${AH}$ cắt ${CE}$ tại $F$. Chứng minh tứ giác${ABFD}$là hình thoi và $dfrac{CD}{CB}=dfrac{CE}{CF}$.
c) Tia ${FD}$ cắt cạnh ${AC}$ tại ${K.}$ Chứng minh $Delta CKE$ đồng dạng với $Delta CFA$ và ${KD}$ là tia phân giác của $widehat{HKE}$.
Lời giải
a) Xét $Delta ABC$ và $Delta HBA$ có:
$widehat{HBA}$ là góc chung
$widehat{CAB}=widehat{BHA}=90{}^circ (text{gt})$
Do đó: $Delta ABCbacksim Delta HBA,$( g.g)
b)
*Xét $Delta AFC$ có ${CH,AE}$ là các đường cao cắt nhau tại ${D}$ nên D là trực tâm của tam giác suy ra ${FD}$ vuông góc với ${AC}$ (tính chất 3 đường cao) mà ${BA}$ vuông góc với ${AC}$ nên $FD,text{//},AB$ nên ${FDH=ABH}$(cặp góc so le trong)
* Xét $Delta DHF$và $Delta BHA$ có: ${DH=HB}$ (gt); ${FDH=ABH}$ (cmt); $widehat{DHF}=widehat{BHA}=90{}^circ $$left( AHbot BC right)$
Nên $Delta DHF=Delta BHA$ (c.g.c) suy ra ${DF=AB}$
* Xét tứ giác ${ABFD}$có: ${DF=AB}$ và $DF,text{//},AB$nên tứ giác ${ABFD}$là hình bình hành. Mặt khác: $AFbot BD,(text{gt})$. Nên tứ giác ${ABFD}$ là hình thoi
* Ta có tứ giác ${ABFD}$ là hình thoi nên$AD,text{//},BF$ (Tính chất hình thoi) ½ $DE,text{//},BF$
Xét tam giác $CBF$ có $DE,text{//},BF$ nên $dfrac{CD}{CB}=dfrac{CE}{CF}$ (đ/lí Ta Lét)
c)
* Xét $Delta CAE$ và $Delta CFK$ có:
$widehat{KCF}$ là góc chung
$widehat{CEA}=widehat{CKF}=90{}^circ (text{gt})$
Do đó: $Delta CEAbacksim Delta CKF$( g.g)
suy ra $dfrac{CE}{CK}=dfrac{CA}{CF}$(cạnh tương ứng tỉ lệ) suy ra $dfrac{CE}{CA}=dfrac{CK}{CF}$
* Xét $Delta CKE$ và $Delta CFA$ có:
$widehat{KCE}$ là góc chung
$dfrac{CE}{CA}=dfrac{CK}{CF}$
Do đó: $Delta CKEbacksim Delta CFA,$(c.g.c)
suy ra $widehat{CKE}=widehat{CFA}$(hai góc tương ứng).
* Chứng minh tương tự như trên ta có $widehat{HKA}=widehat{AFC}$ từ đó suy ra $widehat{CKE}=widehat{AKH}$$Rightarrow 90{}^circ -widehat{CKE}=90{}^circ -widehat{AKH}$$Rightarrow widehat{EKF}=widehat{HKF}$
suy ra ${{KD}}$ là tia phân giác của ${widehat{HKE}}$(đpcm).
Bài 5. Cho $x>1;,y>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
$P=dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}+dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}$
Lời giải
Ta có với $x>1;,y>1$thì $dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}$ và $dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}$$>0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $P=dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}+dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}ge 2.sqrt{dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}.dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}}=2.sqrt{dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}.dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}}$
+ Ta có: $dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}=x+1+dfrac{1}{x-1}=x-1+dfrac{1}{x-1}+2$
Vì$x>1;,y>1$ $Rightarrow x-1>0;dfrac{1}{x-1}>0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $x-1+dfrac{1}{x-1}ge 2sqrt{left( x-1 right)dfrac{1}{x-1}}=2$
$Rightarrow x-1+dfrac{1}{x-1}+2ge 2+2$
$Rightarrow dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}ge 4$
+ Tương tự ta có:$dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}=y+1+dfrac{1}{y-1}=y-1+dfrac{1}{y-1}+2ge 4$
Suy ra $P=dfrac{{{x}^{2}}}{y-1}+dfrac{{{y}^{2}}}{x-1}ge 2.sqrt{4.4}=8$
Dấu “=” xảy ra khi $x=y=2,text{(t/m)}$
Vậy $MinP=8$ khi $x=y=2,.$
