HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:
Câu |
Phần |
Nội dung |
Điểm |
Câu 1 (3,0đ) |
a) |
$7+2sqrt{x}-x=left( 2+sqrt{x} right)sqrt{7-x}$ (1) ĐK: $0le xle 7$ $(1)Leftrightarrow 7+2sqrt{x}-x=2sqrt{7-x}+sqrt{x}.sqrt{7-x}$ $begin{array}{l} Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=left{ 3,5;3 right}$ |
1.5 |
b) |
$left( x+sqrt{2018+{{x}^{2}}} right)left( y+sqrt{2018+{{y}^{2}}} right)=2018$ (1) Thực hiện phép nhân liên hợp, ta có: $begin{array}{l} Từ (2) và (3) $Rightarrow x+y=-x-yLeftrightarrow 2x=-2yLeftrightarrow x=-y$ Thay $x=-y$ vào biểu thức Q, ta được: $begin{array}{l} |
1.5 |
|
Câu 2 (1,5đ) |
|
$begin{array}{l} $Rightarrow $ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $left{ begin{array}{l} Do đó: $begin{array}{l} Với $min {{N}^{*}},mne 3$ thì $2m+dfrac{8}{m-3}in Q$ $Rightarrow $ A có giá trị nguyên $begin{array}{l} Vậy $min left{ 4;2;5;1;7;11 right}$ là các giá trị cần tìm. |
1.5. |
Câu 3 (2,0đ) |
a) |
$P=dfrac{1}{2sqrt{1}+1sqrt{2}}+dfrac{1}{3sqrt{2}+2sqrt{3}}+dfrac{1}{4sqrt{3}+3sqrt{4}}+…+dfrac{1}{2025sqrt{2024}+2024sqrt{2025}}$ Với $nin {{N}^{*}}$, ta có: $begin{array}{l} Áp dụng kết quả trên, ta được: $begin{array}{l}
|
1.0 |
b) |
$begin{array}{l} $Leftrightarrow 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)ge {{left( x+y right)}^{2}}$ (1) Theo đề bài: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3left( x+y right)Leftrightarrow 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)=6left( x+y right)$ (2) Từ (1) và (2) $Rightarrow {{left( x+y right)}^{2}}le 6left( x+y right)$ $Leftrightarrow x+yle 6text{ }(text{do }x,yin {{N}^{*}}Rightarrow x+y>0)$ (3) Vì ${{x}^{2}},{{y}^{2}}$ là các số chính phương nên chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Mà ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3left( x+y right)text{ }vdots text{ }3$ $Rightarrow {{x}^{2}}vdots 3text{ v }!!grave{mathrm{a}}!!text{ }{{y}^{2}}vdots 3$ (4) Từ (3) và (4) $Rightarrow x=y=3$ (thỏa mãn đề bài) Vậy $x=y=3$. |
1.0 |
|
Câu 4 (3,5đ) |
|
|
0.25 |
a) |
Gọi H, P lần lượt là giao điểm của OM với AB, IK. Ta có: OA = OB = R và MA = MB (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) $Rightarrow $ OM là đường trung trực của AB $Rightarrow OMbot AB$ tại H $Delta $MAC có IM = IA và KM = KC $Rightarrow $ IK là đường trung bình của $Delta $MAC $Rightarrow $ IK // AC hay IP // AH $Delta $MAH có IM = IA và IP // AH $Rightarrow $ PM = PH Vì IK // AC và OM $bot $ AC $Rightarrow OMbot IK$ tại P $Rightarrow $ Các tam giác KPO, KPM vuông tại P Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: $begin{array}{l} $Delta $OAM vuông tại A (vì MA là tiếp tuyến tại A của (O)) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: $OM.OH=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}$ Mà $K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}=OM.OH$ $Rightarrow K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}={{R}^{2}}$ (đpcm). |
1.25 |
|
b) |
Vẽ tiếp tuyến KQ của (O) (Q và A nằm cùng phía với MC) $Rightarrow $$Delta $KQO vuông tại Q $Rightarrow K{{O}^{2}}=K{{Q}^{2}}+O{{Q}^{2}}=K{{Q}^{2}}+{{R}^{2}}$ (định lí Py-ta-go) Mà $K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}={{R}^{2}}Rightarrow K{{O}^{2}}=K{{M}^{2}}+{{R}^{2}}$ $Rightarrow K{{Q}^{2}}=K{{M}^{2}}Rightarrow KQ=KM=KC$ $Delta $KQD và $Delta $KAQ có: $widehat{QKA}text{ chung; }widehat{KQD}=widehat{KAQ}text{ }left( =dfrac{1}{2}text{s}oversetfrown{DQ} right)$ $Rightarrow $$Delta $KQD $Delta $KAQ (g.g) $Rightarrow dfrac{KQ}{KA}=dfrac{KD}{KQ}Rightarrow dfrac{KC}{KA}=dfrac{KD}{KC}text{ }(vtext{ }!!grave{mathrm{i}}!!text{ }KQ=KC)$ $Rightarrow $$Delta $KCD $Delta $KAC (c.g.c) $begin{array}{l} $Rightarrow $ Tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp (đpcm) |
1.0 |
|
c) |
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDM có $Rightarrow widehat{DMC}={{widehat{B}}_{2}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD) Mà ${{widehat{B}}_{2}}={{widehat{E}}_{1}}text{ }left( =dfrac{1}{2}text{s}oversetfrown{AD} right)$ $Rightarrow widehat{DMC}={{widehat{E}}_{1}}$ Nhưng hai góc ở vị trí so le trong $Rightarrow $ MK // AE $Rightarrow $ AEKM là hình thang Hình thang AEKM (AE // MK) có IA = IM và NE = NK $Rightarrow $ IN là đường trung bình của hình thang AEKM $Rightarrow widehat{INF}=widehat{AEF}$ (2 góc đồng vị) Mặt khác: $widehat{IAF}=widehat{AEF}text{ }left( =dfrac{1}{2}text{s}oversetfrown{AF} right)$ $Rightarrow widehat{IAF}=widehat{INF}text{ }left( =widehat{AEF} right)$ $Rightarrow $ AIFN là tứ giác nội tiếp $Rightarrow $ 4 điểm A, I, F, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm). |
1.0 |