Đáp án – đề 9

Câu

Phần

Nội dung

Điểm

Câu 1 (3,0đ)

a)

$7+2sqrt{x}-x=left( 2+sqrt{x} right)sqrt{7-x}$                                                     (1)

ĐK: $0le xle 7$

$(1)Leftrightarrow 7+2sqrt{x}-x=2sqrt{7-x}+sqrt{x}.sqrt{7-x}$

   $begin{array}{l}
 Leftrightarrow left( {7 – x} right) – sqrt x .sqrt {7 – x}  + 2sqrt x  – 2sqrt {7 – x}  = 0;\
 Leftrightarrow sqrt {7 – x} left( {sqrt {7 – x}  – sqrt x } right) – 2left( {sqrt {7 – x}  – sqrt x } right) = 0\
 Leftrightarrow left( {sqrt {7 – x}  – sqrt x } right)left( {sqrt {7 – x}  – 2} right) = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt {7 – x}  – sqrt x  = 0\
sqrt {7 – x}  – 2 = 0
end{array} right.\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt {7 – x}  = sqrt x \
sqrt {7 – x}  = 2
end{array} right.\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
7 – x = x\
7 – x = 4
end{array} right.\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3,5{rm{ (TM)}}\
x = 3{rm{    (TM)}}
end{array} right.
end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=left{ 3,5;3 right}$

1.5

b)

$left( x+sqrt{2018+{{x}^{2}}} right)left( y+sqrt{2018+{{y}^{2}}} right)=2018$                           (1)

Thực hiện phép nhân liên hợp, ta có:

$begin{array}{l}
(1) Leftrightarrow left( {{x^2} – 2018 – {x^2}} right)left( {y + sqrt {2018 + {y^2}} } right) = 2018left( {x – sqrt {2018 + {x^2}} } right)\
{rm{   }} Leftrightarrow  – 2018left( {y + sqrt {2018 + {y^2}} } right) = 2018left( {x – sqrt {2018 + {x^2}} } right)\
{rm{   }} Leftrightarrow y + sqrt {2018 + {y^2}}  = sqrt {2018 + {x^2}}  – x\
{rm{   }} Leftrightarrow sqrt {2018 + {x^2}}  – sqrt {2018 + {y^2}}  = x + y{rm{                                      (2)}}\
(1) Leftrightarrow left( {x + sqrt {2018 + {x^2}} } right)left( {{y^2} – 2018 – {y^2}} right) = 2018left( {y – sqrt {2018 + {y^2}} } right)\
{rm{   }} Leftrightarrow  – 2018left( {x + sqrt {2018 + {x^2}} } right) = 2018left( {y – sqrt {2018 + {y^2}} } right)\
{rm{   }} Leftrightarrow x + sqrt {2018 + {x^2}}  = sqrt {2018 + {y^2}}  – y\
{rm{   }} Leftrightarrow sqrt {2018 + {x^2}}  – sqrt {2018 + {y^2}}  =  – x – y{rm{                                    (3)}}
end{array}$

Từ (2) và (3)

$Rightarrow x+y=-x-yLeftrightarrow 2x=-2yLeftrightarrow x=-y$

Thay $x=-y$ vào biểu thức Q, ta được:

$begin{array}{l}
Q = {( – y)^{2019}} + {y^{2019}} + 2018left( { – y + y} right) + 2020\
{rm{   }} =  – {y^{2019}} + {y^{2019}} + 2018.0 + 2020\
{rm{   }} = 2020
end{array}$

1.5

Câu 2 (1,5đ)

$begin{array}{l}
Delta ‘ = {(m – 1)^2} – (2m – 6) = {m^2} – 2m + 1 – 2m + 6\
{rm{   }} = ({m^2} – 4m + 4) + 3 = {(m – 2)^2} + 3 > 0{rm{ }}forall m
end{array}$

$Rightarrow $ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m – 2\
{x_1}{x_2} = 2m – 6
end{array} right.$

Do đó:

$begin{array}{l}
A = {left( {dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} right)^2} + {left( {dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} right)^2} = {left( {dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} right)^2} – 2dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} cdot dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = {left( {dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}}} right)^2} – 2\
{rm{   }} = {left[ {frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} – 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}} right]^2} – 2 = {left[ {dfrac{{{{(2m – 2)}^2} – 2(2m – 6)}}{{2m – 6}}} right]^2} – 2\
{rm{   }} = {left( {dfrac{{4{m^2} – 8m + 4 – 4m + 12}}{{2m – 6}}} right)^2} – 2 = {left( {dfrac{{4{m^2} – 12m + 16}}{{2m – 6}}} right)^2} – 2\
{rm{   }} = {left[ {dfrac{{2m(2m – 6) + 16}}{{2m – 6}}} right]^2} – 2 = {left( {2m + dfrac{8}{{m – 3}}} right)^2} – 2
end{array}$

Với $min {{N}^{*}},mne 3$ thì $2m+dfrac{8}{m-3}in Q$

$Rightarrow $ A có giá trị nguyên

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow 2m + frac{8}{{m – 3}} in Z Leftrightarrow frac{8}{{m – 3}} in Z\
 Rightarrow m – 3 in left{ { pm 1; pm 2;4;8} right}{rm{ }}left( {{rm{do }}m > 0 Rightarrow m – 3 >  – 3} right)\
 Rightarrow m in left{ {4;2;5;1;7;11} right}
end{array}$

Vậy $min left{ 4;2;5;1;7;11 right}$ là các giá trị cần tìm.

1.5.

Câu 3 (2,0đ)

a)

$P=dfrac{1}{2sqrt{1}+1sqrt{2}}+dfrac{1}{3sqrt{2}+2sqrt{3}}+dfrac{1}{4sqrt{3}+3sqrt{4}}+…+dfrac{1}{2025sqrt{2024}+2024sqrt{2025}}$

Với $nin {{N}^{*}}$, ta có:

$begin{array}{l}
{rm{  }}dfrac{1}{{left( {n + 1} right)sqrt n  + nsqrt {n + 1} }} = dfrac{1}{{sqrt {n + 1} .sqrt n .left( {sqrt {n + 1}  + sqrt n } right)}}\
 = dfrac{{sqrt {n + 1}  – sqrt n }}{{sqrt {n + 1} .sqrt n .left( {n + 1 – n} right)}} = dfrac{{sqrt {n + 1}  – sqrt n }}{{sqrt {n + 1} .sqrt n }} = dfrac{1}{{sqrt n }} – dfrac{1}{{sqrt {n + 1} }}
end{array}$

Áp dụng kết quả trên, ta được:

$begin{array}{l}
P = dfrac{1}{{sqrt 1 }} – dfrac{1}{{sqrt 2 }} + dfrac{1}{{sqrt 2 }} – dfrac{1}{{sqrt 3 }} + dfrac{1}{{sqrt 3 }} – dfrac{1}{{sqrt 4 }} + … + dfrac{1}{{sqrt {2024} }} – dfrac{1}{{sqrt {2025} }}\
{rm{   }} = dfrac{1}{{sqrt 1 }} – dfrac{1}{{sqrt {2025} }} = 1 – dfrac{1}{{45}} = dfrac{{44}}{{45}}
end{array}$

1.0

b)

$begin{array}{l}
{rm{    }}{left( {x – y} right)^2} ge 0 Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} ge 0\
 Leftrightarrow {x^2} – 2xy + {y^2} + {x^2} + 2xy + {y^2} ge {x^2} + 2xy + {y^2}
end{array}$

$Leftrightarrow 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)ge {{left( x+y right)}^{2}}$                                                                                 (1)

Theo đề bài:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3left( x+y right)Leftrightarrow 2left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} right)=6left( x+y right)$                                      (2)

Từ (1) và (2)

$Rightarrow {{left( x+y right)}^{2}}le 6left( x+y right)$

$Leftrightarrow x+yle 6text{ }(text{do }x,yin {{N}^{*}}Rightarrow x+y>0)$                                                           (3)

Vì ${{x}^{2}},{{y}^{2}}$ là các số chính phương nên chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Mà ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3left( x+y right)text{ }vdots text{ }3$

$Rightarrow {{x}^{2}}vdots 3text{  v }!!grave{mathrm{a}}!!text{   }{{y}^{2}}vdots 3$                                                                                             (4)

Từ (3) và (4) $Rightarrow x=y=3$ (thỏa mãn đề bài)

Vậy $x=y=3$.

1.0

Câu 4 (3,5đ)

0.25

a)

Gọi H, P lần lượt là giao điểm của OM với AB, IK.

Ta có: OA = OB = R và MA = MB (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

$Rightarrow $ OM là đường trung trực của AB

$Rightarrow OMbot AB$ tại H

$Delta $MAC có IM = IA và KM = KC

$Rightarrow $ IK là đường trung bình của $Delta $MAC

$Rightarrow $ IK // AC hay IP // AH

$Delta $MAH có IM = IA và IP // AH $Rightarrow $ PM = PH

Vì IK // AC và OM $bot $ AC $Rightarrow OMbot IK$ tại P

$Rightarrow $ Các tam giác KPO, KPM vuông tại P

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$begin{array}{l}
{rm{    }}K{O^2} = K{P^2} + P{O^2}  và  {rm{ }}K{M^2} = K{P^2} + P{M^2}\
 Rightarrow K{O^2} – K{M^2} = P{O^2} – P{M^2} = (PO + PM)(PO – PM)\
{rm{ }} = OM.(PH + OH – PM) = OM.OH{rm{ }}({rm{do }}PM = PH)
end{array}$

$Delta $OAM vuông tại A (vì MA là tiếp tuyến tại A của (O))

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

    $OM.OH=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}$

Mà $K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}=OM.OH$

$Rightarrow K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}={{R}^{2}}$ (đpcm).

1.25

b)

Vẽ tiếp tuyến KQ của (O) (Q và A nằm cùng phía với MC)

$Rightarrow $$Delta $KQO vuông tại Q

$Rightarrow K{{O}^{2}}=K{{Q}^{2}}+O{{Q}^{2}}=K{{Q}^{2}}+{{R}^{2}}$ (định lí Py-ta-go)

Mà $K{{O}^{2}}-K{{M}^{2}}={{R}^{2}}Rightarrow K{{O}^{2}}=K{{M}^{2}}+{{R}^{2}}$

$Rightarrow K{{Q}^{2}}=K{{M}^{2}}Rightarrow KQ=KM=KC$

$Delta $KQD và $Delta $KAQ có: $widehat{QKA}text{ chung; }widehat{KQD}=widehat{KAQ}text{ }left( =dfrac{1}{2}text{s}oversetfrown{DQ} right)$

$Rightarrow $$Delta $KQD  $Delta $KAQ (g.g)

$Rightarrow dfrac{KQ}{KA}=dfrac{KD}{KQ}Rightarrow dfrac{KC}{KA}=dfrac{KD}{KC}text{ }(vtext{ }!!grave{mathrm{i}}!!text{  }KQ=KC)$

$Rightarrow $$Delta $KCD  $Delta $KAC (c.g.c)

$begin{array}{l}
 Rightarrow {widehat C_1} = {widehat A_1}\
 Rightarrow {widehat C_1} = {widehat B_1}{rm{ }}left( {{rm{vì }}{{widehat A}_1} = {{widehat B}_1} = frac{1}{2}{rm{s}}} right)
end{array}$

$Rightarrow $ Tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp (đpcm)

1.0

c)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCDM có

$Rightarrow widehat{DMC}={{widehat{B}}_{2}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mà ${{widehat{B}}_{2}}={{widehat{E}}_{1}}text{ }left( =dfrac{1}{2}text{s}oversetfrown{AD} right)$

$Rightarrow widehat{DMC}={{widehat{E}}_{1}}$

Nhưng hai góc ở vị trí so le trong

$Rightarrow $ MK // AE $Rightarrow $ AEKM là hình thang

Hình thang AEKM (AE // MK) có IA = IM và NE = NK

$Rightarrow $ IN là đường trung bình của hình thang AEKM

$Rightarrow widehat{INF}=widehat{AEF}$ (2 góc đồng vị)

Mặt khác: $widehat{IAF}=widehat{AEF}text{ }left( =dfrac{1}{2}text{s}oversetfrown{AF} right)$

$Rightarrow widehat{IAF}=widehat{INF}text{ }left( =widehat{AEF} right)$

$Rightarrow $ AIFN là tứ giác nội tiếp

$Rightarrow $ 4 điểm A, I, F, N cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

1.0