|
Câu |
Đáp án |
Điểm |
|
Câu 1 (2,0 điểm) |
Cho đa thức $f(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+(1-m)x+m$. |
|
|
1) Khi $m=2$, hãy phân tích đa thức$f(x)$ thành nhân tử. |
|
|
|
$fleft( x right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2$ |
0,25 |
|
|
$f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)$. |
0,25 |
|
|
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<4$. |
|
|
|
Phân tích phương trình $(x – 1)({x^2} – x – m) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
0,25 |
|
|
Phương trình $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow $ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1. |
0,25 |
|
| $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m ne 0\ Delta = 1 + 4m > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} m ne 0\ m > – frac{1}{4} end{array} right.$ |
0,25 |
|
|
Lúc đó: ${{x}_{1}}=1,,,{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=1;,,{{x}_{2}}{{x}_{3}}=-m$ |
0,25 |
|
|
Điều kiện: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<4Leftrightarrow {{left( {{x}_{2}}+{{x}_{3}} right)}^{2}}-2{{x}_{2}}{{x}_{3}}<3Leftrightarrow m<1$. |
0,25 |
|
|
Vậy $-dfrac{1}{4}<m<1,mne 0$. |
0,25 |
|
|
Câu 2 (2,0 điểm) |
1) Giải phương trình: $dfrac{15}{{{x}^{2}}-6x+4}=dfrac{{{(x-1)}^{2}}+15x+3}{x({{x}^{2}}-2x+4)}$. |
|
|
Điều kiện: $xne 0;xne 3+sqrt{5};xne 3-sqrt{5},,left( * right)$. Phương trình biến đổi thành: $dfrac{1}{{{x}^{2}}-6x+4}-dfrac{1}{{{x}^{2}}-2x+4}=dfrac{1}{15x}$ |
0,25
|
|
|
$Leftrightarrow dfrac{1}{x+dfrac{4}{x}-6}-dfrac{1}{x+dfrac{4}{x}-2}=dfrac{1}{15}quad (1)$. |
0,25 |
|
|
Đặt $x+dfrac{4}{x}=t$ $left( tne 2;tne 6 right)$. PT (1) trở thành: $frac{1}{{t – 6}} – frac{1}{{t – 2}} = frac{1}{{15}} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
0,25 |
|
|
Với $t=-4$ ta có $x+dfrac{4}{x}=-4Leftrightarrow x=-2$ thỏa mãn (*). Với $t=12$ ta có $x + frac{4}{x} = 12 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
0,25 |
|
|
2) Giải hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} |
|
|
|
Phương trình (1): $(2x-y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+3)=0$ $Leftrightarrow 2x=y$. |
0,25 |
|
|
Thế vào (2): $sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=4-2x-{{x}^{2}}quad left( * right)$. Đánh giá vế trái của (*): $sqrt{3{{(x+1)}^{2}}+4}+sqrt{5{{(x+1)}^{2}}+9}ge 5$. |
0,25 |
|
|
Và đánh giá vế phải của (*): $4-2x-{{x}^{2}}=5-{{(x+1)}^{2}}le 5$. Dấu bằng xảy ra khi $x=-1$. |
0,25 |
|
|
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=(-1;-2)$. |
0,25 |
|
|
Câu 3 (2,0 điểm) |
1) Giả sử con rắn có n cái đầu (n là số nguyên dương). Nếu dùng thanh kiếm 1 hoặc thanh kiếm 2 thì số đầu rắn sau khi bị chặt là $n-21$ hoặc $n+2009$. Tức là giảm hoặc tăng một đại lượng là bội số của 7. |
0,50 |
|
Mà 100 chia 7 dư 2 nên hoàng tử không thể cứu công chúa. |
0,50 |
|
|
2) Tìm các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời: ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xz+4(x+z)=396$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3z$. |
|
|
|
Từ điều kiện ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3z$ suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ chia hết cho 3 hay $x,y$ đều chia hết cho 3. ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xz+4(x+z)=396$$Leftrightarrow {{(x+z+2)}^{2}}=4(100-{{y}^{2}})$. |
0,25 |
|
|
Suy ra: $100-{{y}^{2}}$ là số chính phương và ${{y}^{2}}le 100$. Mặt khác $yvdots 3$ nên ${{y}^{2}}in left{ 0;36 right}$$Rightarrow yin left{ 0;6;-6 right}$. |
0,25 |
|
|
Xét $y=0$: $left{ begin{array}{l} Tìm được $x=6,z=12$ hoặc $x=-9,z=27$. |
0,25 |
|
|
Xét $y=6$ hoặc $y=-6$:$left{ begin{array}{l} $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Giải ra $x,znotin mathbb{Z}$. Vậy $left( x;y;z right)$ là $left( 6;0;12 right)$ hoặc $left( -9;0;27 right)$. |
0,25 |
|
|
Câu 4 (1,0 điểm) |
1) Cho các số thực $x,y$ không âm, chứng minh rằng ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}$. |
|
|
Bất đẳng thức: ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}ge {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}$ $Leftrightarrow {{x}^{2}}(x-y)-{{y}^{2}}(x-y)ge 0$ $Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}(x+y)ge 0$, đúng $forall x,yge 0$. |
0,25 |
|
|
2) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $dfrac{ab}{{{a}^{5}}+{{b}^{5}}+ab}+dfrac{bc}{{{b}^{5}}+{{c}^{5}}+bc}+dfrac{ca}{{{c}^{5}}+{{a}^{5}}+ca}le 1$. |
|
|
|
Chứng minh ${{a}^{5}}+{{b}^{5}}ge {{a}^{2}}{{b}^{3}}+{{a}^{3}}{{b}^{2}}$ $Leftrightarrow {{a}^{3}}({{a}^{2}}-{{b}^{2}})-{{b}^{3}}({{a}^{2}}-{{b}^{2}})ge 0$ $Leftrightarrow {{(a-b)}^{2}}(a+b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})ge 0,quad forall a,b>0quad (*)$ |
0,25 |
|
|
Áp dụng (*): ${{a}^{5}}+{{b}^{5}}ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}(a+b)Rightarrow {{a}^{5}}+{{b}^{5}}+abge ab.dfrac{a+b+c}{c}$ $Rightarrow dfrac{ab}{{{a}^{5}}+{{b}^{5}}+ab}le dfrac{c}{a+b+c}quad (1)$ |
0,25 |
|
|
Tương tự $dfrac{bc}{{{b}^{5}}+{{c}^{5}}+bc}le dfrac{a}{a+b+c}quad (2)$ ; $dfrac{ca}{{{c}^{5}}+{{a}^{5}}+ca}le dfrac{b}{a+b+c}quad (3)$ Cộng (1), (2), (3) ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$. |
0,25 |
|
|
Câu 5 (3,0 điểm) |
1)
a) Góc $angle HDC=angle AEB={{90}^{0}}$ nên tứ giác DHEC nội tiếp đường tròn đường kính HC. |
0,25 |
|
Tâm O là trung điểm của HC. |
0,25 |
|
|
b) Xét $vartriangle NIC$ và $vartriangle NED$ ta có: $angle END=angle INC$(đối đỉnh); $angle DEN=angle CIN$ (cùng chắn cung $oversetfrown{CD}$) Suy ra: $vartriangle NIC$$backsim $$vartriangle NED$. |
0,25 |
|
|
$Rightarrow dfrac{NI}{NC}=dfrac{NE}{ND}Rightarrow NI.ND=NC.NE$. |
0,25 |
|
|
c) $angle DIC=angle DHC$ (cùng chắn cung $oversetfrown{CD}$) (1) $angle DHC=angle ABC$ (cùng phụ góc $angle BCF$) (2) |
0,25 |
|
|
Lại có: $angle BFC=angle BEC={{90}^{0}}$ nên tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra $angle ABC=angle AEF$ (3) |
0,25 |
|
|
Mà $angle AEF=angle MEC$(đối đỉnh), từ đó $angle MEC=angle DIC$và được tứ giác MENI nội tiếp, suy ra $angle EMN=angle EIN$ (4) |
0,25 |
|
|
$angle ACB=angle EIN$ (cùng chắn cung $oversetfrown{DE}$) (5). $angle ACB=angle AFE$ (tứ giác BFEC nội tiếp) (6). Suy ra $angle AFE=angle EMN$ $Rightarrow AB//MN$. Mà $ABbot CH$ nên $MNbot CH$. |
0,25 |
|
|
2)
Các diện tích ${{S}_{Delta ABC}}={{S}_{Delta ABE}}$ nên C và E cách đều AB hay AB // CE. Tương tự các đường chéo còn lại cũng song song với các cạnh tương ứng. |
0,25 |
|
|
Gọi P là giao điểm của BD và CE và đặt diện tích ${{S}_{Delta BCP}}=x>0$ Do tứ giác ABPE là hình bình hành nên ${{S}_{Delta BPE}}={{S}_{Delta ABE}}=1$. |
0,25 |
|
|
Lại có: $dfrac{{{S}_{Delta BCP}}}{{{S}_{Delta PCD}}}=dfrac{BP}{PD}=dfrac{{{S}_{Delta BEP}}}{{{S}_{Delta PED}}}$, tức là: $dfrac{x}{1-x}=dfrac{1}{x}Rightarrow x=dfrac{1}{2}left( sqrt{5}-1 right)$. |
0,25 |
|
|
Diện tích ngũ giác: ${{S}_{Delta ABCDE}}={{S}_{Delta ABE}}+{{S}_{Delta BPE}}+{{S}_{Delta CDE}}+{{S}_{Delta BCP}}=3+x$. Vậy: ${{S}_{Delta ABCDE}}=dfrac{1}{2}left( sqrt{5}+5 right)$. |
0,25. |
