Đáp án – đề 15 – trang 1

Bài

Điểm

1

2.0

a) Cho biểu thức $A=left( dfrac{x+3sqrt{x}+2}{xsqrt{x}-8}-dfrac{1}{sqrt{x}-2} right):dfrac{1}{sqrt{x}}$ với $x>0$ và $xne 4$. Tìm giá trị của $A$ tại $x=14+6sqrt{5}$.

Với $x>0;xne 4$, ta có:

$A=left( dfrac{x+3sqrt{x}+2}{xsqrt{x}-8}-dfrac{1}{sqrt{x}-2} right):dfrac{1}{sqrt{x}}$$=left[ dfrac{x+3sqrt{x}+2}{left( sqrt{x}-2 right)left( x+2sqrt{x}+4 right)}-dfrac{x+2sqrt{x}+4}{left( sqrt{x}-2 right)left( x+2sqrt{x}+4 right)} right]sqrt{x}$.

$=dfrac{sqrt{x}-2}{left( sqrt{x}-2 right)left( x+2sqrt{x}+4 right)}sqrt{x}=dfrac{sqrt{x}}{x+2sqrt{x}+4}.$

0.5

Ta có $x=14+6sqrt{5}=9+2.3.sqrt{5}+5={{left( 3+sqrt{5} right)}^{2}}Rightarrow sqrt{x}=sqrt{{{left( 3+sqrt{5} right)}^{2}}}=left| 3+sqrt{5} right|=3+sqrt{5}.$

0.25

Khi đó, ta có: $A=dfrac{3+sqrt{5}}{14+6sqrt{5}+2.left( 3+sqrt{5} right)+4}=dfrac{3+sqrt{5}}{24+8sqrt{5}}=dfrac{3+sqrt{5}}{8left( 3+sqrt{5} right)}=dfrac{1}{8}.$

0.25

b) Tính giá trị biểu thức $A=sqrt{12-sqrt{80-32sqrt{3}}}-sqrt{12+sqrt{80-32sqrt{3}}}$.

Ta có ${{A}^{2}}=24-8sqrt{4+2sqrt{3}}={{left( 2sqrt{3}-2 right)}^{2}}$

0.5

$Rightarrow A=pm left( 2sqrt{3}-2 right)$

0.25

Do $A<0$ nên $A=2-2sqrt{3}$.

0.25

2

Cho phương trình ${{x}^{2}}+left( 2m-3 right)x-{{m}^{2}}-1=0$  (1)  ($x$ là ẩn số, $m$ là tham số)

1.0

a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Ta có $ac=1.left( -{{m}^{2}}-1 right)<0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị $m$.

0.25

b) Giả sử ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm $m$để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thỏa mãn $left| {{x}_{1}} right|-left| {{x}_{2}} right|=3$.

Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

Suy ra ${{x}_{1}}<0$, ${{x}_{2}}>0$

0.25

$Rightarrow left| {{x}_{1}} right|=-{{x}_{1}},left| {{x}_{2}} right|={{x}_{2}}$

0.25

$Rightarrow left| {{x}_{1}} right|-left| {{x}_{2}} right|=3Leftrightarrow -left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)=3Leftrightarrow 2m-3=3Leftrightarrow m=3$

0.25

3

1.5

a) Giải phương trình ${{left( {{x}^{2}}-9 right)}^{2}}=12x+1$.

Biến đổi tương đương phương trình ta được

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 9 = 6x + 1\
{x^2} + 9 =  – 6x – 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} – 6x + 8 = 0\
{x^2} + 6x + 10 = 0{rm{ }}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
x{rm{  =  4}}
end{array} right.$

0.25

0.5

b) Giải hệ phương trình

$left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{sqrt {2x – y – 9}  – 36 + {x^2} = 0}\
{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^2} – xy + 9 = 0}
end{array}} right.$

Điều kiện $2x-y-9ge 0$, ta có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{sqrt {2x – y – 9}  – 36 + {x^2} = 0,,,,(1)}\
{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{y^2} – xy + 9 = 0,,,,(2)}
end{array}} right.$

Phương trình (2) $Leftrightarrow $ ${{left( 2y-x right)}^{2}}={{x}^{2}}-36$

0.25

Suy ra (1) $sqrt {2x – y – 9}  + {left( {2y – x} right)^2} = 0 Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{2x – y – 9 = 0}\
{,,,,,,,2y – x = 0}
end{array}} right.$

0.25

 $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\
{y = 3}
end{array}} right.$

 thỏa điều kiện. Vậy hệ phương trình có nghiệm $Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\
{y = 3}
end{array}} right.$

0.25.