Đáp án – đề 13 – trang 2

Câu 4.

(2,5 điểm)

Cho hình thang $ABCD$ (AB//CD,$AB<CD$). Gọi $K, M$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AC$. Đường thẳng đi qua $K$ và vuông góc với $AD$ cắt đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $BC$ tại $Q$. Chứng minh:

a) KM // AB.

b) $QD=QC.$

a

(1.0 điểm)

Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $E=IKcap CD,,,,R=IMcap CD$.

Xét hai tam giác $KIB$ và $KED$ có $left{ begin{array}{l}
widehat {ABD} = widehat {BDC}\
KB{rm{ }} = {rm{ }}KD{rm{ }}\
widehat {IKB} = widehat {EKD}
end{array} right.;;$

$Rightarrow Delta KIB=Delta KEDRightarrow IK=KEtext{   (1)}$.

Chứng minh tương tự có: $Delta MIA=Delta MRCRightarrow MI=MRtext{   (2)}$

Từ (1) và (2) suy ra KM là đường trung bình $Delta IER$ $Rightarrow $ KM // CD

Do CD // AB (gt). Vậy KM // AB (đpcm)

b

(1.5 điểm)

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) $Rightarrow $ IK là đường trung bình của $Delta $ABD $Rightarrow $  IK//AD hay IE//AD

$Rightarrow QKbot IE$. Suy ra $QK$là đường trung trực ứng với cạnh IE của $Delta IER$.

Tương tự ta chứng minh được QM là đường trung trực ứng với cạnh $IR$ của $Delta IER$.

Hạ $QHbot CD$ thì QH là trung trực ứng với cạnh $ER$ của $Delta IER$

Do $DE=RC=dfrac{1}{2}ABRightarrow QH$ là đường trung trực của đoạn CD.

Vậy $QC=QD$.

Câu 5( 1 điểm)

Có bao nhiêu tập hợp con $A$ của tập hợp $S=left{ 1,2,3…2018 right}$ thỏa mãn điều kiện $A$ có ít nhất hai phần tử và nếu $xin A,,yin A,,x>y$ thì $dfrac{{{y}^{2}}}{x-y}in A$.

Với mỗi tập $A$ là tập con của $S=left{ 1,2,3…2018 right}$ thỏa mãn đề bài, gọi $a$ và $b$ lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của tập $A(a,bin S,a<b)$.

Ta chứng minh $ble 2a$.

Thật vậy, giả sử $b>2a$, theo giả thiết $c=dfrac{{{a}^{2}}}{b-a}in A.$

Mà $b>2a=>ba>a>0=>ctext{ }=dfrac{{{a}^{2}}}{b-a}<dfrac{{{a}^{2}}}{a}=a$, mâu thuẫn với $a$ là phần tử nhỏ nhất của $A$. Vậy $ble 2a$.

Gọi $d$ là phần tử lớn nhất của tập $B=Abackslash left{ b right}.$

Ta chứng minh $bge 2d$.

Thật vậy, giả sử $b<2d$, theo giả thiết thì $d<b=>e=dfrac{{{d}^{2}}}{b-d}in A$.

Mà $b<2d=>0<bd<d=>e>dfrac{{{d}^{2}}}{d}=d$.

Suy ra $ein A$ nhưng $enotin B$

Do đó

 $e=bRightarrow dfrac{{{d}^{2}}}{b-d}=b=>{{d}^{2}}={{b}^{2}}-bd=>5{{d}^{2}}=4{{b}^{2}}-4bd+{{d}^{2}}={{(2b-d)}^{2}}$

(mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương)

Vậy $bge 2dRightarrow 2dle ble 2aRightarrow dle a$. Mà $ale d$($a$ và $d$ lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên $a=dRightarrow b=2a$.

Do đó$A=left{ a;2a right}.$ Kiểm tra lại ta thấy $A$ thỏa mãn đề bài.

Vì $ain S$ và $2ain S$ nên $2le 2ale 2018Rightarrow 1le ale 1009$

Vậy số tập con A thỏa mãn đề bài là 1009 tập.

Câu 6.

(1,0 điểm)

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.

Không mất tổng quát giả sử:$ABle AC$. Gọi $B’$ là điểm chính giữa cung $oversetfrown{ABC}Rightarrow AB’=CB’$.

Trên tia đối của $BC$ lấy điểm $~A$ sao cho:$BA=BA$

$Rightarrow AB+BC=CA’$

Ta có: $left{ begin{array}{l}
widehat {B’BC} = widehat {B’AC} = widehat {B’CA}\
widehat {B’CA} + widehat {B’BA} = {180^0}\
widehat {B’BC} + widehat {B’BA’} = {180^0}
end{array} right. Rightarrow widehat {B’BA} = widehat {B’BA’}$

$Rightarrow Delta ABB=Delta ABBRightarrow A’B’=B’A$

$Rightarrow B’A+B’C=B’A’+B’Cge A’C=AB+BC~$ ($BA+BC$ không đổi vì $B,A,C$ cố định). Dấu “=” xảy ra khi $B$ trùng với $B$.

Tương tự nếu gọi $D$ là điểm chính giữa cung $oversetfrown{ADC}$ thì ta cũng có$AD+CD~ge AD+CD$. Dấu “=” xảy ra khi $D$ trùng với $D$ .

Vậy chu vi tứ giác $ABCD$ lớn nhất khi $B,D$ là các điểm chính giữa các cung $oversetfrown{AC}$ của đường tròn $left( O right)$.