Đáp án – đề 13 – trang 1

CÂU

Ý

NỘI DUNG

Câu 1.

(2,0đ)

Cho biểu thức $P=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}-dfrac{sqrt{x}+3}{5-sqrt{x}}-dfrac{3x+4sqrt{x}-5}{x-4sqrt{x}-5},(xge 0;xne 25)$.

a) Rút gọn $P.$ Tìm các số thực $x$ để $P>-2$.

b) Tìm các số tự nhiên $x$ là số chính phương sao cho $P$ là số nguyên.

a

( 1.5 điểm)

$P=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}-dfrac{sqrt{x}+3}{5-sqrt{x}}-dfrac{3x+4sqrt{x}-5}{x-4sqrt{x}-5}=dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}-dfrac{sqrt{x}+3}{5-sqrt{x}}-dfrac{3x+4sqrt{x}-5}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-5 right)}$

$=dfrac{(sqrt{x}+2)(sqrt{x}-5)+(sqrt{x}+3)(sqrt{x}+1)-(3x+4sqrt{x}-5)}{(sqrt{x}+1)(sqrt{x}-5)}$

$=dfrac{-x-3sqrt{x}-2}{(sqrt{x}+1)(sqrt{x}-5)}$

$=-dfrac{(sqrt{x}+1)(sqrt{x}+2)}{(sqrt{x}+1)(sqrt{x}-5)}=-dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-5}$

Ta có $P >  – 2 Leftrightarrow  – frac{{sqrt x  + 2}}{{sqrt x  – 5}} >  – 2 Leftrightarrow 2 – frac{{sqrt x  + 2}}{{sqrt x  – 5}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sqrt x  < 5\
sqrt x  > 12
end{array} right.$

+ Với $sqrt{x}<5Leftrightarrow 0le x<25$.

+ Với $sqrt{x}>12Leftrightarrow x>144$.

b

( 0.5 điểm)

Ta có $x$ là số chính phương nên $sqrt{x}in mathbb{N}$, và $sqrt{x}-5ge -5$.  

Khi đó $P=-dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-5}=-1-dfrac{7}{sqrt{x}-5}in mathbb{Z}$

$Rightarrow sqrt{x}-5$ là ước của 7. Suy ra $sqrt{x}-5in left{ -1;1;7 right}$.

+) $sqrt{x}-5=-1Rightarrow x=16$

+) $sqrt{x}-5=1Rightarrow x=36$

+) $sqrt{x}-5=7Rightarrow x=144$

Vậy giá trị của $x$ cần tìm là $16;36;144$.

Câu 2 (1.5 điểm

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $(d):y=-2x+3$ và Parabol $(P):y={{x}^{2}}$. Tìm tọa độ các giao điểm $A,B$ của $(d)$và $(P)$. Tính độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$.

b) Cho phương trình: ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ (1), $m$ là tham số. Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.

a

(0.75 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$và $(P)$ là:

$ – 2x + 3 = {x^2} Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x =  – 3
end{array} right.$

+ Với $x=1Rightarrow y=1$.

+ Với $x=-3Rightarrow y=9$.

Vậy tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là $A(1;1),B(-3;9)$.

Gọi $C,D$ lần lượt là giao điểm của $(d)$ và các trục $text{Ox},Oy$ . Khi đó $Cleft( dfrac{3}{2};0 right),Dleft( 0;3 right)$.

Đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ cũng chính là đường cao $OH$ của tam giác vuông $OCD$.

Ta có $OC=dfrac{3}{2};OD=3Rightarrow OH=dfrac{OC.OD}{sqrt{O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}}=dfrac{dfrac{3}{2}.3}{sqrt{{{left( dfrac{3}{2} right)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=dfrac{3sqrt{5}}{5}$.

Vậy $OH=dfrac{3sqrt{5}}{5}$.

b

(

0.75 điểm)

Phương trình có nghiệm nguyên khi $Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương.

+ Với $m=0$, hoặc $m=1$  thì $Delta <0$ (loại).                               

+ Với $m=2$ thì $Delta =4={{2}^{2}}$ (thỏa mãn).

+ Với $mge 3$ thì $2m(m-2)>5Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$

$Leftrightarrow Delta -(2{{m}^{2}}-4m-5)<Delta <Delta +4m+4$ 

$Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1<Delta <{{m}^{4}}$

$Leftrightarrow {{left( {{m}^{2}}-1 right)}^{2}}<Delta <{{left( {{m}^{2}} right)}^{2}}$

$Rightarrow Delta $ không chính phương.

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Câu 3 (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình:  $left{ begin{array}{l}
xy – frac{x}{y} = frac{{16}}{3}\
xy – frac{y}{x} = frac{9}{2}
end{array} right.$

 b) Giải phương trình $x+16-6sqrt{2x+1}=2sqrt{5-x}$.

a

(1.0 điểm)

Giải (2) $Leftrightarrow 6{{y}^{2}}-6{{x}^{2}}=5xyLeftrightarrow (2x+3y)(3x-2y)=0$.

* Nếu $2x+3y=0Leftrightarrow x=dfrac{-3y}{2}$.

Thay vào (1) ta được $y.dfrac{-3y}{2}+dfrac{3}{2}=dfrac{16}{3}$.

 $Leftrightarrow $ $dfrac{-3{{y}^{2}}}{2}=dfrac{23}{6}$ (phương trình vô nghiệm).

* Nếu $3x-2y=0Leftrightarrow x=dfrac{2y}{3}$.

Thay vào (1) ta được ${{y}^{2}}=9Leftrightarrow y=pm 3$.

+ Với $y=3Rightarrow x=2$   (TM).

+ Với $y=-3Rightarrow x=-2$  (TM).

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: $left( x;y right)=left( 2;3 right);left( x;y right)=left( -2;-3 right)$.

b

(1.0 điểm)

ĐK: $dfrac{-1}{2}le xle 5$.

$(*)Leftrightarrow left( left( 2x+1 right)-6sqrt{2x+1}+9 right)+left( 1-2sqrt{5-x}+left( 5-x right) right)=0$.

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sqrt {2x + 1}  = 3\
sqrt {5 – x}  = 1
end{array} right. Leftrightarrow x = 4(TM)$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm $x=4$.