6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
6.1.1. Hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dtext{ }left( ane 0 right)$
|
TRƯỜNG HỢP |
$a>0$ |
$a<0$ |
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có 2 nghiệm phân biệt |
|
|
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có nghiệm kép |
|
|
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ vô nghiệm |
|
|
6.1.2. Hàm số trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+ctext{ }left( ane 0 right)$
|
TRƯỜNG HỢP |
$a>0$ |
$a<0$ |
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có 3 nghiệm phân biệt (ab<0) |
|
|
|
Phương trình ${{y}^{/}}=0$ có 1 nghiệm. |
|
|
6.1.3. Hàm số nhất biến $y=frac{ax+b}{cx+d}text{ }left( cne 0,text{ }ad-bcne 0 right)$
|
$D=ad-bc>0$ |
$D=ad-bc<0$ |
|
|
|
6.2. Một số phép biến đổi đồ thị
6.2.1. Dạng 1
Từ đồ thị $left( C right):y=fleft( x right)$ suy ra đồ thị $left( {{C}’} right):y=fleft( left| x right| right)$.
Ta có:$y = fleft( {left| x right|} right) = left{ begin{array}{l}
fleft( x right){rm{ khi }}x ge 0\
fleft( { – x} right){rm{ khi }}x < 0
end{array} right.$
và $y=fleft( left| x right| right)$ là hàm chẵn nên đồ thị $left( {{C}’} right)$ nhận Oy làm trục đối xứng.
.* Cách vẽ $left( {C’} right)$ từ $left( {C} right)$:
- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$.
- Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của $left( {C} right)$, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
|
Ví dụ: Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = {x^3} – 3x$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = {left| x right|^3} – 3left| x right|$. Biến đổi $left( {C} right)$:
|
$left( C right):y = {x^3} – 3x$ $left( {C’} right):y = {left| x right|^3} – 3left| x right|$ |
6.2.2. Dạng 2
Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right)$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = left| {fleft( x right)} right|$.
Ta có: $y = left| {fleft( x right)} right| = left{ begin{array}{l}
fleft( x right){rm{ khi }}fleft( x right) ge 0\
– fleft( x right){rm{ khi }}fleft( x right) < 0
end{array} right.$
* Cách vẽ $left( {C’} right)$ từ $left( {C} right)$:
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):$y = fleft( x right)$.
- Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
|
Ví dụ: Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = {x^3} – 3x$ suy ra đồ thị $y = left| {{x^3} – 3x} right|$. Biến đổi $left( C right)$:
|
$left( {C’} right):y = left| {{x^3} – 3x} right|$ $left( C right):y = {x^3} – 3x$ |
$left( {C”} right):y = left| {{{left| x right|}^3} – 3left| x right|} right|$Chú ý với dạng: $y=left| fleft( left| x right| right) right|$ ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị $y=fleft( left| x right| right)$ và $y=left| fleft( x right) right|$
|
Ví dụ: Từ đồ thị $left( C right):y=fleft( x right)={{x}^{3}}-3x$ suy ra đồ thị $y=left| {{left| x right|}^{3}}-3left| x right| right|$. Biến đổi $left( C right)$ để được đồ thị $left( {{C}’} right):y={{left| x right|}^{3}}-3left| x right|$. Biến đổi $left( {{C}’} right):y={{left| x right|}^{3}}-3left| x right|$ ta được đồ thị $left( {{{C}’}’} right):y=left| {{left| x right|}^{3}}-3left| x right| right|$. |
. |
6.2.3. Dạng 3
Từ đồ thị $left( C right):y=uleft( x right).vleft( x right)$ suy ra đồ thị $left( {{C}’} right):y=left| uleft( x right) right|.vleft( x right)$.
Ta có:$y = left| {uleft( x right)} right|.vleft( x right) = left{ begin{array}{l}
uleft( x right).vleft( x right) = fleft( x right){rm{ khi }}uleft( x right) ge 0\
– uleft( x right).vleft( x right) = fleft( x right){rm{ khi }}uleft( x right) < 0
end{array} right.$
* Cách vẽ $left( {{C}’} right)$ từ $left( C right)$:
- Giữ nguyên phần đồ thị trên miền $uleft( x right)ge 0$ của đồ thị $left( C right):y=fleft( x right)$.
- Bỏ phần đồ thị trên miền $uleft( x right)<0$của $left( C right)$, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ
|
a) Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = 2{x^3} – 3{x^2} + 1$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = left| {x – 1} right|left( {2{x^2} – x – 1} right)$ |
b) Từ đồ thị $left( C right):y = fleft( x right) = frac{x}{{x – 1}}$ suy ra đồ thị $left( {C’} right):y = frac{x}{{left| {x – 1} right|}}$ |
|
$y = left| {x – 1} right|left( {2{x^2} – x – 1} right) = left{ begin{array}{l} Đồ thị (C’):
Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… |
$y = frac{x}{{left| {x – 1} right|}} = left{ begin{array}{l}
Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác. |
