4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
4.1. Lãi đơn
4.1.1. Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.
4.1.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi đơn $r%$ /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn ( $nin mathbb{N}*$ ) là:
${{S_n} = A + nAr = Aleft( {1 + nr} right)}$
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ $r%$ là $frac{r}{100}$ .
4.2. Lãi kép
4.2.1. Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
4.2.2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi kép $r%$ /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn ( $nin mathbb{N}*$ ) là:
| ${{S_n} = A{{left( {1 + r} right)}^n}}$ $Rightarrow $ |
${n = {{log }_{left( {1 + r} right)}}left( {frac{{{S_n}}}{A}} right)}$ ${r% = sqrt[n]{{frac{{{S_n}}}{A}}} – 1}$ ${A = frac{{{S_n}}}{{{{left( {1 + r} right)}^n}}}}$ |
4.3. Tiền gửi hàng tháng
4.3.1. Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
4.3.2. Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng với lãi kép $r%$/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ tháng ( $nin mathbb{N}*$ ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là ${{S}_{n}}$.
| ${{S_n} = frac{A}{r}left[ {{{left( {1 + r} right)}^n} – 1} right]left( {1 + r} right)}$ $ Rightarrow $ |
${n = {{log }_{left( {1 + r} right)}}left( {frac{{{S_n}.r}}{{Aleft( {1 + r} right)}} + 1} right)}$ ${A = frac{{{S_n}.r}}{{left( {1 + r} right)left[ {{{left( {1 + r} right)}^n} – 1} right]}}}$ |
4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là $X$ đồng. Tính số tiền còn lại sau $n$ tháng là bao nhiêu?
${{S_n} = A{{left( {1 + r} right)}^n} – Xfrac{{{{left( {1 + r} right)}^n} – 1}}{r}}$ $ Rightarrow $ ${X = left[ {A{{left( {1 + r} right)}^n} – {S_n}} right]frac{r}{{{{left( {1 + r} right)}^n} – 1}}}$
4.5. Vay vốn trả góp
4.5.1. Định nghĩa
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là $A$ đồng với lãi suất $r%$/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là $X$ đồng và trả hết tiền nợ sau đúng $n$ tháng.
4.5.2. Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau $n$ tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
| ${{S_n} = A{{left( {1 + r} right)}^n} – Xfrac{{{{left( {1 + r} right)}^n} – 1}}{r}}$ |
Để sau đúng $n$ tháng trả hết nợ thì ${{S}_{n}}=0$ nên
${A{{left( {1 + r} right)}^n} – Xfrac{{{{left( {1 + r} right)}^n} – 1}}{r} = 0}$
4.6. Bài toán tăng lương
4.6.1. Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là $A$ đồng/tháng. Cứ sau $n$ tháng thì lương người đó được tăng thêm $r%$/tháng. Hỏi sau $kn$ tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
4.6.2. Công thức tính
Tổng số tiền nhận được sau $kn$ tháng là ${S_{kn}} = A.n.frac{{{{(1 + r)}^k} – 1}}{r}$
4.7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số ${{X_m} = {X_n}{{left( {1 + r} right)}^{m – n}}}$
$,left( m,nin {{mathbb{Z}}^{+}},mge n right)$
Trong đó:
$r$% là tỉ lệ tăng dân số từ năm $n$ đến năm $m$
${{X}_{m}}$ dân số năm $m$
${{X}_{n}}$ dân số năm $n$
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là $r% = sqrt[{m – n}]{{frac{{{X_m}}}{{{X_n}}}}} – 1$
4.8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng $A$ đồng với lãi kép $r%$/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau $n$ năm $left( nin {{mathbb{N}}^{*}} right)$ là: ${S_n} = A{left( {1 + r} right)^n}$ . Giả sử ta chia mỗi năm thành $m$ kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là $frac{r}{m}% $thì số tiền thu được sau $n$ năm là: ${S_n} = A{left( {1 + frac{r}{m}} right)^{m.n}}$
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là $m to + infty $, gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:
${S = A{e^{n.r}}}$ ( công thức tăng trưởng mũ)
