Bài 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

Bài toán tổng quát:

Cho hàm số $y=fleft( x;m right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện $K$ cho trước?

Phương pháp:

• Bước 1:

• Tập xác định: $D=mathbb{R}.$
• Đạo hàm: ${y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c=A{{x}^{2}}+Bx+C$    

• Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

     $Leftrightarrow {y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và${y}’$đổi dấu qua 2 nghiệm đó

     $Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt

    $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
A = 3a ne 0\
{Delta _{y’}} = {B^2} – 4AC = 4{b^2} – 12ac > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a ne 0\
{b^2} – 3ac > 0
end{array} right. Rightarrow m in {D_1}.$

• Bước 3:

 Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${y}’=0.$

Khi đó: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  – frac{B}{A} =  – frac{{2b}}{{3a}}\
{x_1}.{x_2} = frac{C}{A} = frac{c}{{3a}}
end{array} right..$

• Bước 4: 

Biến đổi điều kiện $K$ về dạng tổng $S$ và tích $P$. Từ đó giải ra tìm được $min {{D}_{2}}.$

• Bước 5:

Kết luận các giá trị m thỏa mãn: $m={{D}_{1}}cap {{D}_{2}}.$

* Chú ý: Hàm số bậc ba:$text{ }y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dleft( ane 0 right).$ 

Ta có:  $y’=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

• Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

• Hàm số có 2 cực trị trái dấu

$Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

$Leftrightarrow A.C=3ac<0Leftrightarrow ac<0.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu

$Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{Delta _{y’}} > 0\
P = {x_1}.{x_2} = frac{C}{A} > 0
end{array} right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

$Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{Delta _{y’}} > 0\
S = {x_1} + {x_2} =  – frac{B}{A} > 0\
P = {x_1}.{x_2} = frac{C}{A} > 0
end{array} right.$

• Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

$Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{Delta _{y’}} > 0\
S = {x_1} + {x_2} =  – frac{B}{A} < 0\
P = {x_1}.{x_2} = frac{C}{A} > 0
end{array} right.$

• Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:    

$leftlangle begin{array}{l}
{x_1} < alpha  < {x_2}\
{x_1} < {x_2} < alpha \
alpha  < {x_1} < {x_2}
end{array} right.$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<alpha <{{x}_{2}}$

$Leftrightarrow left( {{x}_{1}}-alpha  right)left( {{x}_{2}}-alpha  right)<0Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-alpha left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)+{{alpha }^{2}}<0$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<alpha $

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left( {{x_1} – alpha } right)left( {{x_2} – alpha } right) > 0\
{x_1} + {x_2} < 2alpha 
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} – alpha left( {{x_1} + {x_2}} right) + {alpha ^2} > 0\
{x_1} + {x_2} < 2alpha 
end{array} right.$

• Hai cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left( {{x_1} – alpha } right)left( {{x_2} – alpha } right) > 0\
{x_1} + {x_2} > 2alpha 
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1}.{x_2} – alpha left( {{x_1} + {x_2}} right) + {alpha ^2} > 0\
{x_1} + {x_2} > 2alpha 
end{array} right.$

• Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

khi có 1 nghiệm là$x=frac{-b}{3a}$, có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là $x=-sqrt[3]{frac{d}{a}}$ .

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm $Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right),text{ }Bleft( {{x}_{B}};{{y}_{B}} right)$ và đường thẳng $Delta :ax+by+c=0.$

Nếu $left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c right)left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c right)<0$ thì hai điểm $A,text{ }B$ nằm về

hai phía so với đường thẳng $Delta .$

Nếu $left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c right)left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c right)>0$ thì hai điểm $A,text{ }B$ nằm cùng

phía so với đường thẳng $Delta .$

Một số trường hợp đặc biệt:

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

     $Leftrightarrow $hàm số có 2 cực trị cùng dấu

     $Leftrightarrow $phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

     $Leftrightarrow $ hàm số có 2 cực trị trái dấu

     $Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm trái dấu

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

     $Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${{y}_{C}}.{{y}_{CT}}>0$

Đặc biệt:

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

     $Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và $left{ begin{array}{l}
{y_C}.{y_{CT}} > 0\
{y_C} + {y_{CT}} > 0
end{array} right.$

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

     $Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và $left{ begin{array}{l}
{y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\
{y_{CD}} + {y_{CT}} < 0
end{array} right.$

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

     $Leftrightarrow $ phương trình ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt và ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

$Leftrightarrow $đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

$Leftrightarrow $phương trình hoành độ giao điểm $fleft( x right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

Tổng quát: ${{{cot }^2}frac{alpha }{2} = frac{{ – {b^3}}}{{8a}}}$

Dữ kiện

Công thức

thỏa mãn $ab<0;cne 0$

Tam giác $ABC$vuông cân tại $A$

${{b}^{3}}=-8a$

Tam giác $ABC$đều

${{b}^{3}}=-24a$

Tam giác $ABC$có diện tích ${{S}_{Delta ABC}}={{S}_{0}}$

$32{{a}^{3}}{{({{S}_{0}})}^{2}}+{{b}^{5}}=0$

Tam giác $ABC$có diện tích $max({{S}_{0}})$

${{S}_{0}}=sqrt{-frac{{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}}$

Tam giác $ABC$có bán kính đường tròn nội tiếp ${{r}_{Delta ABC}}={{r}_{0}}$

  $r=frac{{{b}^{2}}}{4left| a right|left( 1+sqrt{1-frac{{{b}^{3}}}{8a}} right)}$

Tam giác $ABC$có bán kính đường tròn ngoại tiếp ${{R}_{Delta ABC}}=R$

$R=frac{{{b}^{3}}-8a}{8left| a right|b}$

Tam giác $ABC$có độ dài cạnh$BC={{m}_{0}}$

$am_{0}^{2}+2b=0$

Tam giác $ABC$có độ dài $AB=AC={{n}_{0}}$

$16{{a}^{2}}n_{0}^{2}-{{b}^{4}}+8ab=0$

Tam giác $ABC$có cực trị $B,Cin Ox$

${{b}^{2}}=4ac$

Tam giác $ABC$có $3$ góc nhọn

$b(8a+{{b}^{3}})>0$

Tam giác $ABC$có trọng tâm $O$

${{b}^{2}}=6ac$

Tam giác $ABC$có trực tâm $O$

${{b}^{3}}+8a-4ac=0$

Tam giác $ABC$cùng điểm $O$ tạo thành hình thoi

${{b}^{2}}=2ac$

Tam giác $ABC$có $O$ là tâm đường tròn nội tiếp

${{b}^{3}}-8a-4abc=0$

Tam giác $ABC$có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp

${{b}^{3}}-8a-8abc=0$

Tam giác $ABC$có cạnh $BC=kAB=kAC$

${{b}^{3}}.{{k}^{2}}-8a({{k}^{2}}-4)=0$

Trục hoành chia tam giác $ABC$thành

hai phần có diện tích bằng nhau

${{b}^{2}}=4sqrt{2}left| ac right|$

Tam giác $ABC$có điểm cực trị cách đều trục hoành

${{b}^{2}}=8ac$

Đồ thị hàm số $left( C right):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

${{b}^{2}}=frac{100}{9}ac$

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $left( C right):y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ và trục hoành có diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.

${{b}^{2}}=frac{36}{5}ac$

Phương trình đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$ là:

 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-left( frac{2}{b}-frac{Delta }{4a}+c right)y+cleft( frac{2}{b}-frac{Delta }{4a} right)=0$.