1. NGUYÊN HÀM
1.1. Định nghĩa
Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $K$ ($K$ là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số $Fleft( x right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$ trên $K$ nếu $F’left( x right)=fleft( x right)$ với mọi $xin K$.
Kí hiệu: $int{fleft( x right)dtext{x}=Fleft( x right)+C}$.
Định lí:
1) Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của$fleft( x right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $Gleft( x right)=Fleft( x right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$.
2) Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$ đều có dạng $Fleft( x right)+C$, với $C$ là một hằng số.
Do đó $Fleft( x right)+C,Cin mathbb{R}$ là họ tất cả các nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$.
1.2. Tính chất của nguyên hàm
- ${{left( int{fleft( x right)dtext{x}} right)}^{prime }}=fleft( x right)$ và $int{f’left( x right)dtext{x}=fleft( x right)}+C$; $dleft( int{fleft( x right)operatorname{dx}} right)=fleft( x right)operatorname{dx}$
- Nếu F(x) có đạo hàm thì: $int{dleft( F(x) right)}=F(x)+C$
- $int{kfleft( x right)dtext{x}}=kint{fleft( x right)dtext{x}}$ với $k$ là hằng số khác $0$.
- $int{left[ fleft( x right)pm gleft( x right) right]dtext{x}}=int{fleft( x right)dtext{x}}pm int{gleft( x right)dtext{x}}$
- Công thức đổi biến số: Cho $y=fleft( u right)$ và $u=gleft( x right).$
Nếu $int{f(x)dx}=F(x)+C$ thì $int{fleft( g(x) right)g'(x)dx}=int{f(u)du}$ $=F(u)+C$
1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.
1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
|
1. $int{0dx=C}$ 2. $int{dx=x+C}$ |
|
|
3. $int{{{x}^{alpha }}dx=frac{1}{alpha +1}{{x}^{alpha +1}}+C}left( alpha ne -1 right)$ |
16. $int{{{left( ax+b right)}^{alpha }}operatorname{dx}}=frac{1}{a}frac{{{left( ax+b right)}^{alpha +1}}}{alpha +1}+c,,alpha ne -1$ |
|
4. $int{frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-frac{1}{x}+C}$ |
17. $int{xdx=frac{{{x}^{2}}}{2}+C}$ |
|
5. $int{frac{1}{x}dx=ln left| x right|+C}$ |
18. $int{frac{operatorname{dx}}{ax+b}}=frac{1}{a}ln left| ax+b right|+c$ |
|
6. $int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$ |
19. $int{{{e}^{ax+b}}dx=frac{1}{a}{{e}^{ax+b}}+C}$ |
|
7. $int{{{a}^{x}}dx=frac{{{a}^{x}}}{ln a}+C}$ |
20. $int{{{a}^{kx+b}}dx=frac{1}{k}frac{{{a}^{kx+b}}}{ln a}+C}$ |
|
8. $int{cos xdx=sin x+C}$ |
21. $int{cos left( ax+b right)dx=frac{1}{a}sin left( ax+b right)+C}$ |
|
9. $int{sinxdx=-cooperatorname{s}x+C}$ |
22. $int{sin left( ax+b right)dx=-frac{1}{a}cos left( ax+b right)+C}$ |
|
10. $int{tan x.dx,=-ln |cos x|+C}$ |
23.$int{tan left( ax+b right)operatorname{dx}}=-frac{1}{a}ln left| cos left( ax+b right) right|+C$ |
|
11.$int{cot x.dx,=ln |sin x|+C}$ |
24.$int{cot left( ax+b right)operatorname{dx}}=frac{1}{a}ln left| sin left( ax+b right) right|+C$ |
|
12. $int{frac{1}{{{cos }^{2}}x}dx=tan x+C}$ |
25. $int{frac{1}{{{cos }^{2}}left( ax+b right)}dx=frac{1}{a}tan left( ax+b right)+C}$ |
|
13.$int{frac{1}{{{sin }^{2}}x}dx=-cot x+C}$ |
26. $int{frac{1}{{{sin }^{2}}left( ax+b right)}dx=-frac{1}{a}cot left( ax+b right)+C}$ |
|
14.$int{left( 1+{{tan }^{2}}x right)dx=tan x+C}$ |
27. $int{left( 1+{{tan }^{2}}left( ax+b right) right)dx=frac{1}{a}tan left( ax+b right)+C}$ |
|
15. $int{left( 1+{{cot }^{2}}x right)dx=-cooperatorname{t}x+C}$ |
28.$int{left( 1+{{cot }^{2}}left( ax+b right) right)dx=-frac{1}{a}cooperatorname{t}left( ax+b right)+C}$ |
1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng
|
$int{frac{operatorname{dx}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=frac{1}{a}operatorname{arctg}frac{x}{a}}+C$ |
$int{arcsin frac{x}{a}operatorname{dx}}=xarcsin frac{x}{a}+sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$ |
|
$int{frac{operatorname{dx}}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=frac{1}{2a}ln left| frac{a+x}{a-x} right|}+C$ |
$int{arccos frac{x}{a}operatorname{dx}}=xarccos frac{x}{a}-sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$ |
|
$int{frac{operatorname{dx}}{sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} right)+C$ |
$int{arctan frac{x}{a}operatorname{dx}}=xarctan frac{x}{a}-frac{a}{2}ln left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} right)+C$ |
|
$int{frac{operatorname{dx}}{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=arcsin frac{x}{left| a right|}+C$ |
$int{operatorname{arc}cot frac{x}{a}operatorname{dx}}=xoperatorname{arc}cot frac{x}{a}+frac{a}{2}ln left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} right)+C$ |
|
$int{frac{operatorname{dx}}{xsqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}}=frac{1}{a}arccos left| frac{x}{a} right|+C$ |
|
|
$int{frac{operatorname{dx}}{xsqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}=-frac{1}{a}ln left| frac{a+sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{x} right|+C$ |
$int{frac{operatorname{dx}}{sin left( ax+b right)}}=frac{1}{a}ln left| tan frac{ax+b}{2} right|+C$ |
|
$int{ln left( ax+b right)operatorname{dx}}=left( x+frac{b}{a} right)ln left( ax+b right)-x+C$ |
$int{{{e}^{ax}}cos bxoperatorname{dx}}=frac{{{e}^{ax}}left( acos bx+bsin bx right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C$ |
|
$int{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}operatorname{dx}}=frac{xsqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}+frac{{{a}^{2}}}{2}arcsin frac{x}{a}+C$ |
$int{{{e}^{ax}}sin bxoperatorname{dx}}=frac{{{e}^{ax}}left( asin bx-bcos bx right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C$ |
