Bài 1: NGUYÊN HÀM

1. NGUYÊN HÀM

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số $fleft( x right)$ xác định trên $K$ ($K$ là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).  Hàm số $Fleft( x right)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$ trên $K$ nếu $F’left( x right)=fleft( x right)$ với mọi $xin K$.

Kí hiệu: $int{fleft( x right)dtext{x}=Fleft( x right)+C}$.

Định lí:

1) Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của$fleft( x right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $Gleft( x right)=Fleft( x right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$.

2) Nếu $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$ đều có dạng $Fleft( x right)+C$, với $C$ là một hằng số.

Do đó $Fleft( x right)+C,Cin mathbb{R}$ là họ tất cả các nguyên hàm của $fleft( x right)$ trên $K$.

1.2. Tính chất của nguyên hàm

  • ${{left( int{fleft( x right)dtext{x}} right)}^{prime }}=fleft( x right)$ và $int{f’left( x right)dtext{x}=fleft( x right)}+C$; $dleft( int{fleft( x right)operatorname{dx}} right)=fleft( x right)operatorname{dx}$
  • Nếu F(x) có đạo hàm thì:  $int{dleft( F(x) right)}=F(x)+C$
  • $int{kfleft( x right)dtext{x}}=kint{fleft( x right)dtext{x}}$ với $k$ là hằng số khác $0$.
  • $int{left[ fleft( x right)pm gleft( x right) right]dtext{x}}=int{fleft( x right)dtext{x}}pm int{gleft( x right)dtext{x}}$
  • Công thức đổi biến số: Cho $y=fleft( u right)$ và $u=gleft( x right).$

Nếu  $int{f(x)dx}=F(x)+C$ thì $int{fleft( g(x) right)g'(x)dx}=int{f(u)du}$ $=F(u)+C$

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

1. $int{0dx=C}$       2. $int{dx=x+C}$           

 

3. $int{{{x}^{alpha }}dx=frac{1}{alpha +1}{{x}^{alpha +1}}+C}left( alpha ne -1 right)$

16. $int{{{left( ax+b right)}^{alpha }}operatorname{dx}}=frac{1}{a}frac{{{left( ax+b right)}^{alpha +1}}}{alpha +1}+c,,alpha ne -1$

4. $int{frac{1}{{{x}^{2}}}dx=-frac{1}{x}+C}$

17. $int{xdx=frac{{{x}^{2}}}{2}+C}$

5. $int{frac{1}{x}dx=ln left| x right|+C}$

18. $int{frac{operatorname{dx}}{ax+b}}=frac{1}{a}ln left| ax+b right|+c$

6. $int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}$

19. $int{{{e}^{ax+b}}dx=frac{1}{a}{{e}^{ax+b}}+C}$

7. $int{{{a}^{x}}dx=frac{{{a}^{x}}}{ln a}+C}$

20. $int{{{a}^{kx+b}}dx=frac{1}{k}frac{{{a}^{kx+b}}}{ln a}+C}$

8. $int{cos xdx=sin x+C}$

21. $int{cos left( ax+b right)dx=frac{1}{a}sin left( ax+b right)+C}$

9. $int{sinxdx=-cooperatorname{s}x+C}$

22. $int{sin left( ax+b right)dx=-frac{1}{a}cos left( ax+b right)+C}$

10. $int{tan x.dx,=-ln |cos x|+C}$

23.$int{tan left( ax+b right)operatorname{dx}}=-frac{1}{a}ln left| cos left( ax+b right) right|+C$

11.$int{cot x.dx,=ln |sin x|+C}$

24.$int{cot left( ax+b right)operatorname{dx}}=frac{1}{a}ln left| sin left( ax+b right) right|+C$

12. $int{frac{1}{{{cos }^{2}}x}dx=tan x+C}$

25. $int{frac{1}{{{cos }^{2}}left( ax+b right)}dx=frac{1}{a}tan left( ax+b right)+C}$

13.$int{frac{1}{{{sin }^{2}}x}dx=-cot x+C}$

26. $int{frac{1}{{{sin }^{2}}left( ax+b right)}dx=-frac{1}{a}cot left( ax+b right)+C}$

14.$int{left( 1+{{tan }^{2}}x right)dx=tan x+C}$

27. $int{left( 1+{{tan }^{2}}left( ax+b right) right)dx=frac{1}{a}tan left( ax+b right)+C}$

15. $int{left( 1+{{cot }^{2}}x right)dx=-cooperatorname{t}x+C}$

28.$int{left( 1+{{cot }^{2}}left( ax+b right) right)dx=-frac{1}{a}cooperatorname{t}left( ax+b right)+C}$

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng

$int{frac{operatorname{dx}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=frac{1}{a}operatorname{arctg}frac{x}{a}}+C$

$int{arcsin frac{x}{a}operatorname{dx}}=xarcsin frac{x}{a}+sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$

$int{frac{operatorname{dx}}{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=frac{1}{2a}ln left| frac{a+x}{a-x} right|}+C$

$int{arccos frac{x}{a}operatorname{dx}}=xarccos frac{x}{a}-sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+C$

$int{frac{operatorname{dx}}{sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}=ln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} right)+C$

$int{arctan frac{x}{a}operatorname{dx}}=xarctan frac{x}{a}-frac{a}{2}ln left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} right)+C$

$int{frac{operatorname{dx}}{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=arcsin frac{x}{left| a right|}+C$

$int{operatorname{arc}cot frac{x}{a}operatorname{dx}}=xoperatorname{arc}cot frac{x}{a}+frac{a}{2}ln left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} right)+C$

$int{frac{operatorname{dx}}{xsqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}}=frac{1}{a}arccos left| frac{x}{a} right|+C$

 

$int{frac{operatorname{dx}}{xsqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}=-frac{1}{a}ln left| frac{a+sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{x} right|+C$

$int{frac{operatorname{dx}}{sin left( ax+b right)}}=frac{1}{a}ln left| tan frac{ax+b}{2} right|+C$

$int{ln left( ax+b right)operatorname{dx}}=left( x+frac{b}{a} right)ln left( ax+b right)-x+C$

$int{{{e}^{ax}}cos bxoperatorname{dx}}=frac{{{e}^{ax}}left( acos bx+bsin bx right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C$

$int{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}operatorname{dx}}=frac{xsqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2}+frac{{{a}^{2}}}{2}arcsin frac{x}{a}+C$

$int{{{e}^{ax}}sin bxoperatorname{dx}}=frac{{{e}^{ax}}left( asin bx-bcos bx right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+C$

 

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *