PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 9 TUẦN 30
Đại số 9 Ôn tập: Phương trình bậc hai và bài toán phụ
§6 Phương trình quy về phương trình bậc hai
Bài 1: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x – tham số m)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn ${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}ge 10$
Bài 2: Cho phương trình: ${{x}^{2}}+text{ }2x+m-1=0~$ ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn $3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$
Bài 3: Cho phương trình $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-mx+dfrac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1=0$ ($m$ là tham số).
a) Giải phương trình đã cho với $m=-1$ .
b) Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $dfrac{1}{{{x}_{1}}}+dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$
Bài 4: Giải các phương trình sau
|
a) ${{x}^{4}}-13{{x}^{2}}+36=0$ |
c) ${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+6=0$ |
|
b) ${{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+12x-9=0$ |
d)$dfrac{7}{x+1}+dfrac{x+4}{2x-2}=dfrac{3{{x}^{2}}-38}{{{x}^{2}}-1}$ |
|
e) $sqrt{x-3}=2x-7$ |
f) $sqrt{{{x}^{2}}-3}=sqrt{3x-5}$ |
– Hết –
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1:
a) Ta có: $Delta $’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = ${{left( m-dfrac{1}{2} right)}^{2}}+dfrac{15}{4}$
Do ${{left( m-dfrac{1}{2} right)}^{2}}ge 0$ với mọi m; $dfrac{15}{4}>0$ ⇒ $Delta $ > 0 với mọi m.
⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có:$S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m-1)$ và $P={{x}_{1.}}{{x}_{2}}=-left( m+3 right)$
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2(m – 1) < 0\
– (m + 3) > 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 1\
m < – 3
end{array} right. Leftrightarrow m < – 3$
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:$S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m-1)$ và $P={{x}_{1.}}{{x}_{2}}=-left( m+3 right)$
Khi đó $Atext{ }=text{ }{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=text{ }{{left( {{x}_{1}}+text{ }{{x}_{2}} right)}^{2}}-text{ }2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{left( m-1 right)}^{2}}+2left( m+3 right)=4{{m}^{2}}-6m+10$
Theo bài $A ge10$ ⇔ $4{{m}^{2}}text{ }6mge 0$ ⇔ $2mleft( 2m-3 right)ge 0$
$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
m ge 0\
2m – 3 ge 0
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
m le 0\
2m – 3 le 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
m ge 0\
m ge dfrac{3}{2}
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
m le 0\
m le dfrac{3}{2}
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m ge dfrac{3}{2}\
m le 0
end{array} right.$ Vậy $m ge dfrac{3}{2}$ hoặc $m le 0$
Bài 2:
a) Ta có $Delta $’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{Delta ge 0}\
{P = 1}
end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{2 – m ge 0}\
{m – 1 = 1}
end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{m le 2}\
{m = 2}
end{array} Leftrightarrow m = 2} right.} right.$
Vậy m = 2
b) Ta có $Delta $’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ $Delta ge 0$ ⇔ $2 – m ge 0$ ⇔ $m le 2$ (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: $3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1$ (3)
Từ (1) và (3) ta có:
$left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = – 2\
3{x_1} + 2{x_2} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{x_1} + 2{x_2} = – 4\
3{x_1} + 2{x_2} = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = 5\
{x_1} + {x_2} = – 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = 5\
{x_2} = – 7
end{array} right.$
Thế vào (2) ta có: $5left( -7 right)=mtext{ }-1$ ⇔ $mtext{ }=-text{ }34$ (thoả mãn (*))
Vậy $mtext{ }=-text{ }34$ là giá trị cần tìm.
Bài 3:
- Với $m=-1$ phương trình trở thành $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x-dfrac{9}{2}=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-9=0$
$Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = – 1 – sqrt {10} \
{x_2} = – 1 + sqrt {10}
end{array} right.$
- Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $Delta >0$
$Leftrightarrow {{left( -m right)}^{2}}-4.dfrac{1}{2}.left( dfrac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1 right)>0Leftrightarrow -8m+2>0Leftrightarrow m<dfrac{1}{4}$
Để phương trình có nghiệm khác 0 $Leftrightarrow dfrac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1ne 0$
$Rightarrow left{ begin{array}{l}
{m_1} ne – 4 – 3sqrt 2 \
{m_2} ne – 4 + 3sqrt 2
end{array} right.$
Ta có $dfrac{1}{{{x_1}}} + dfrac{1}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2} Leftrightarrow left( {{x_1} + {x_2}} right)left( {{x_1}{x_2} – 1} right) = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 0\
{x_1}{x_2} – 1 = 0
end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2m = 0\
{m^2} + 8m – 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m = 0\
m = – 4 – sqrt {19} \
m = – 4 + sqrt {19}
end{array} right.$
Kết hợp với điều kiện ta được $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m = 0}\
{m = – 4 – sqrt {19} }
end{array}} right.$
Vậy $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m = 0}\
{m = – 4 – sqrt {19} }
end{array}} right.$ là các giá trị cần tìm.
Bài 4:
a) Đặt t = x2 ⇒ $t ge0$ phương trình (1) có dạng :
${{t}^{2}}-13t+36=0~~$ Ta có
$Delta = {( – 13)^2} – 4.36 = 25 Rightarrow sqrt Delta = 5$
$ Rightarrow {t_1} = dfrac{{ – ( – 13) + 5}}{2};{t_2} = dfrac{{ – ( – 13) – 5}}{2}$
- Với t1 = 9 x2= 9 $ Rightarrow x = pm sqrt 9 = pm 3$
- Với t2 = 4 x2 =4 $ Rightarrow x = pm sqrt 4 = pm 2$
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3.
b) Đặt t = x2 ⇒ $t ge0$ phương trình (2) có dạng : ${{t}^{2}}-5ttext{ }+6text{ }=text{ }0$
Ta có:
$Delta = {( – 5)^2} – 4.6 = 1 Rightarrow sqrt Delta = 1$
$ Rightarrow {t_1} = dfrac{{ – ( – 5) + }1}{2};{t_2} = dfrac{{ – ( – 5) – 1}}{2}$
- Với t1 = 3 x2 = 3$ Rightarrow x = pm sqrt 3 $
- Với t2 = 2 x2 =2$ Rightarrow x = pm sqrt 2 $
Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm: x1= $x = sqrt 3 $ ; x2= – $x = sqrt 3 $ ; x3=$x = sqrt 2 $ ; x4 = – $x = sqrt 2 $ .
c) Ta có phương trình$Leftrightarrow {{x}^{4}}-{{left( 2x-3 right)}^{2}}=0$ (1.1)
$Leftrightarrow left( {{x^2} + 2x – 3} right)left( {{x^2} – 2x + 3} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 2x – 3 = 0\
{x^2} – 2x + 3 = 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 1;x = 3$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1;x=3$
d) Hướng dẫn: ĐKXĐ: $xne pm 1$ . MTC: $2({{x}^{2}}-1)$
Quy đồng, khử mẫu ta được phương trình $5{{x}^{2}}-19x-66=0$
Giải ra hai nghiệm: ${{x}_{1}}=6;{{x}_{2}}=-2,2$ (thoả mãn). Kết luận nghiệm.
e) $sqrt {x – 3} = 2x – 7 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x – 7 ge 0\
x – 3 = {left( {2x – 7} right)^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge dfrac{7}{2}\
4{x^2} – 29x + 52 = 0{rm{ (*)}}
end{array} right.$.
${{x}_{1}}=4;{{x}_{2}}=dfrac{13}{4}$ . Giải phương trình (*) ta được Nhận giá trị ${{x}_{1}}=4>dfrac{7}{2}$, loại giá trị ${{x}_{2}}=dfrac{13}{4}<dfrac{7}{2}$
Kết luận: Vậy $x=4$là nghiệm của phương trình.
f) $sqrt {{x^2} – 3} = sqrt {3x – 5} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3x – 5 ge 0\
{x^2} – 3 = 3x – 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge dfrac{5}{3}\
{x^2} – 3x + 2 = 0{rm{ (**)}}
end{array} right.$
Giải (**) theo trường hợp a + b + c = 0 ta có ${{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=2$.
${{x}_{1}}=1<dfrac{5}{3}$ (loại) . ${{x}_{2}}=2>dfrac{5}{3}$(nhận).
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Hết
