Câu 31: Đáp án B
Phương pháp:
+) Viết phương trình mô tả vận tốc của vật trong 3h đầu, và trong 1h tiếp theo.
+) Sử dụng công thức $s=intlimits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vleft( t right)dt}$
Cách giải: Trong 3h đầu. Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là $vleft( t right)=-frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t$
=> Quãng đường vật di chuyển được trong 3h đầu là ${{s}_{1}}=intlimits_{0}^{3}{vleft( t right)dt}=intlimits_{0}^{3}{left( -frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t right)}dt=frac{81}{4}$
Tại $t=3$ta có: $vleft( 3 right)=frac{27}{4}$
Trong 1h tiếp theo $v=frac{27}{4}left( km/h right)Rightarrow {{s}_{2}}=frac{27}{4}left( km right)$
Vậy quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó được : $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=27left( km right)$
Câu 32: Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải: Đặt
$left{ begin{array}{l}
u = ln left( {9 – {x^2}} right)\
dv = dx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{ – 2x}}{{9 – {x^2}}}\
v = x
end{array} right.$
$begin{array}{l}
Rightarrow I = intlimits_1^2 {ln left( {9 – {x^2}} right)dx = left. {xln left( {9 – {x^2}} right)} right|} _1^2 + 2intlimits_1^2 {frac{{{x^2}}}{{9 – {x^2}}}dx = 2ln 5 – 3ln 2 + 2{I_1}} \
{I_1} = intlimits_1^2 {frac{{{x^2}}}{{9 – {x^2}}}dx = intlimits_1^2 {left( { – 1 + frac{9}{{9 – {x^2}}}} right)dx = – intlimits_1^2 {dx + 9intlimits_1^2 {frac{{dx}}{{left( {3 – x} right)left( {3 + x} right)}}} } } }
end{array}$
$begin{array}{l}
= left. { – x} right|{}_1^2 + frac{9}{6}intlimits_1^2 {left( {frac{1}{{3 – x}} + frac{1}{{3 + x}}} right)dx = – 1 + frac{3}{2}left. {left( { – ln left| {3 – x} right| + ln left| {3 + x} right|} right)} right|{}_1^2} = – 1 + frac{3}{2}left. {ln left| {frac{{3 + x}}{{3 – x}}} right|} right|_1^2\
= – 1 + frac{3}{2}left( {ln 5 – ln 2} right) = – 1 + frac{3}{2}ln 5 – 3ln 2 = 5ln 5 – 6ln 2 – 2\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 5\
b = 6\
c = – 2
end{array} right. Rightarrow S = left| a right| + left| b right| + left| c right| = 13
end{array}$
Câu 33: Đáp án D
Phương pháp:
+) Tính khoảng cách từ O đến $left( SCD right).$
+) $MOcap left( SCD right)=CRightarrow frac{dleft( M;left( SCD right) right)}{dleft( O;left( SCD right) right)}=frac{MC}{OC}=frac{3}{2}$
Cách giải: Gọi O là tâm của hình vuông $ABCDRightarrow SObot left( ABCD right)$
Gọi E là trung điểm của CD ta có :
$left{ begin{array}{l}
CD bot OE\
CD bot SO
end{array} right. Rightarrow CD bot left( {SOE} right)$
Trong mặt phẳng $left( SOE right)$ kẻ: $OKbot SERightarrow OKbot CDRightarrow OKbot left( SCD right)Rightarrow dleft( O;left( SCD right) right)=OK$
Ta có: $OB=frac{asqrt{2}}{2}Rightarrow SO=sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=frac{asqrt{2}}{2}$
$Rightarrow frac{1}{O{{K}^{2}}}=frac{1}{S{{O}^{2}}}+frac{1}{O{{E}^{2}}}=frac{6}{{{a}^{2}}}Rightarrow OK=frac{asqrt{6}}{6}$
Ta có: $MOcap left( SCD right)=CRightarrow frac{dleft( M;left( SCD right) right)}{dleft( O;left( SCD right) right)}=frac{MC}{OC}=frac{3}{2}$
$Rightarrow dleft( M;left( SCD right) right)=frac{3}{2}dleft( O;left( SCD right) right)=frac{3}{2}.frac{asqrt{6}}{6}=frac{asqrt{6}}{4}$
Câu 34: Đáp án A
Phương pháp: Đặt $t={{log }_{2}}x$
Cách giải: Đặt $t={{log }_{2}}x$, với $xin left( 0;1 right)Rightarrow t<0$
Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+t+m=0Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}-t=fleft( t right)left( * right)left( t<0 right)$
Xét hàm số $fleft( t right)=-{{t}^{2}}-tleft( t<0 right)$ta có $f’left( t right)=-2t-1=0Leftrightarrow t=-frac{1}{2},$lập BBT của hàm số $y=fleft( t right)$
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft( t right)$ và đường thẳng
$y=m$
Để phương trình ban đầu có nghiệm thực $xin left( 0;1 right)$ thì phương trình (*) có nghiệm âm$Rightarrow mle frac{1}{4}$
Câu 35: Đáp án D
Phương pháp: Giải phương trình $ctext{os}2x=-frac{1}{2}$, tính được 1 góc và suy ra các góc còn lại của tam giác cân.
Cách giải: $ctext{os}2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{2pi }{3}+k2pi Leftrightarrow x=pm frac{pi }{3}+kpi $
Vì x là số đo của 1 góc của tam giác cân nên $0 < x < pi Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{3}\
x = frac{{2pi }}{3}
end{array} right.$
Với $x=frac{pi }{3}$=> tam giác cân trở thành tam giác đều => 3 góc của tam giác là $left{ frac{pi }{3};frac{pi }{3};frac{pi }{3} right}$
Với $x=frac{2pi }{3}Rightarrow $ 2 góc còn lại của tam giác cân đều bằng $frac{pi }{6}Rightarrow $3 góc của tam giác là
$left{ frac{2pi }{3};frac{pi }{6};frac{pi }{6} right}$
Câu 36: Đáp án D
Phương pháp:
+) Tính y’, tìm điều kiện để phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
+) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực trị.
+) Tìm điều kiện để $Oleft( 0;0 right)in d$
Cách giải:
Ta có : $y’=3{{x}^{2}}-27a=0Leftrightarrow {{x}^{2}}=9a$ .
Để hàm số có cực đại, cực tiểu $Leftrightarrow pt,,y’=0$có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow a>0$
Khi đó phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
$left[ begin{array}{l}
x = 3sqrt a Rightarrow y = – 54sqrt a Rightarrow Aleft( {3sqrt a ; – 54asqrt a } right)\
x = – 3sqrt a Rightarrow y = 54asqrt a Rightarrow Bleft( { – 3sqrt a ;54asqrt a } right)
end{array} right.$
=>Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là :
$begin{array}{l}
frac{{x + 3sqrt a }}{{3sqrt a + 3sqrt a }} = frac{{y – 54asqrt a }}{{ – 54asqrt a – 54asqrt a }} Leftrightarrow frac{{x + 3sqrt a }}{{6sqrt a }} = frac{{y – 54asqrt a }}{{ – 108asqrt a }}\
Leftrightarrow 18aleft( {x + 3sqrt a } right) = – y + 54asqrt a Leftrightarrow 18ax + y = 0,,left( d right)
end{array}$
Ta thấy đường thẳng d luôn đi qua gốc tọa độ với mọi $a>0$
Câu 37: Đáp án A
Phương pháp: $fleft( x right)=int{f’left( x right)dx}$
Cách giải: $fleft( x right)=int{f’left( x right)dx=int{frac{1}{x+1}dx=ln left| x+1 right|+C}}$
$fleft( 0 right)=2018Leftrightarrow C=2018Rightarrow fleft( x right)=ln left| x+1 right|+2018$
$Rightarrow fleft( 3 right)-fleft( 1 right)=ln 4+2018-ln 2-2018=ln 2$
Câu 38: Đáp án C
Phương pháp: Đặt $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=a-bi,$tính toán và rút gọn, so sánh hai số phức.
Cách giải:Gọi $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ta có:
$begin{array}{l}
{left( {1 + 2i} right)^2}z + overline z = 4i – 20 Leftrightarrow left( { – 3 + 4i} right)left( {a + bi} right) + a – bi = 4i – 20\
Leftrightarrow – 3a – 3bi + 4ai – 4b + a – bi = 4i – 20 Leftrightarrow left( { – 2a – 4b} right) + left( {4a – 4b} right)i = 4i – 20\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 2a – 4b = – 20\
4a – 4b = 4
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 4\
b = 3
end{array} right. Rightarrow z = 4 + 3i Rightarrow left| z right| = 5
end{array}$
Câu 39: Đáp án D
Phương pháp:
+) Xác định các điểm cực trị, các khoảng biến thiên của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$, từ đó lập BBT của của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$
+) Đồ thị hàm số $y=fleft( -x right)$ đối với đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$qua trục tung nên từ BBT của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ta lập được BBT của đồ thị hàm số $y=fleft( -x right)$và suy ra các khoảng đồng biến của đồ thị hàm số $y=fleft( -x right)$
Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số $y=fleft( -x right)$ta thấy: $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = 1\
x = 4
end{array} right.$
$begin{array}{l}
f’left( x right) > 0 Leftrightarrow x in left( { – 1;1} right) cup left( {4; + infty } right)\
f’left( x right) < 0 Leftrightarrow x in left( { – infty ; – 1} right) cup left( {1;4} right)
end{array}$
Từ đó ta lập BBT của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ như sau:
Đồ thị hàm số $y=fleft( -x right)$đối với đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$qua trục tung nên từ BBT của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ta lập được BBT của đồ thị hàm số $y=fleft( -x right)$như sau :
Từ BBT ta dễ thấy hàm số $y=fleft( -x right)$đồng biến trên khoảng $left( -3;-1 right)$
Câu 40: Đáp án C
Phương pháp:
+) Từ $2x+y=frac{5}{4}$rút y theo x, thế vào biểu thức P.
+) Tìm tập giá trị của x.
+) Tìm GTNN của biểu thức P bằng MTCT.
Cách giải:
$2x+y=frac{5}{4}Rightarrow y=frac{5}{4}-2xRightarrow P=frac{2}{x}+frac{1}{4y}=frac{2}{x}+frac{1}{4left( frac{5}{4}-2x right)}=frac{2}{x}+frac{1}{5-8x}$
Xét hàm số $fleft( x right)=frac{2}{x}+frac{1}{5-8x}$với $xin left( 0;frac{5}{8} right)$
Sử dụng MTCT ta tính được $underset{xin left( -;frac{5}{8} right)}{mathop{min }},fleft( x right)=5Leftrightarrow x=frac{1}{2}.$ Vậy ${{P}_{min }}=5$
Câu 41: Đáp án D
Phương pháp:
+) Viết phương trình các mặt phẳng ở đề bài.
+) Gọi $Mleft( a;b;c right)$ là điểm cách đều cả 4 mặt phẳng trên
$Leftrightarrow dleft( M;left( ABC right) right)=dleft( M;left( BCD right) right)=dleft( M;left( CDA right) right)=dleft( M;left( DAB right) right)$
+) Tính các khoảng cách và giải hệ phương trình.
Cách giải:
Phương trình các mặt phẳng : $begin{array}{l}
left( {ABC} right):x + y + z – 1 = 0\
left( {BCD} right):x = 0\
left( {CDA} right):y = 0\
left( {DAB} right):z = 0
end{array}$
Gọi $Mleft( a;b;c right)$là điểm cách đều cả 4 mặt phẳng trên
$begin{array}{l}
Leftrightarrow dleft( {M;left( {ABC} right)} right) = dleft( {M;left( {BCD} right)} right) = d Rightarrow left( {M;left( {CDA} right)} right) = dleft( {M;left( {DAB} right)} right)\
Leftrightarrow frac{{left| {a + b + c – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| = left| b right| = left| c right| Rightarrow left{ begin{array}{l}
left| a right| = left| b right| = left| c right|\
frac{{left| {a + b + c – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right|
end{array} right.
end{array}$
$left| a right| = left| b right| = left| c right| Rightarrow left[ begin{array}{l}
a = b = c\
a = b = – c\
a = c = – b\
b = c = – a
end{array} right.$
$TH1:,,a = b = c Rightarrow frac{{left| {3a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow 9{a^2} – 6a + 1 = 3{a^2} Rightarrow a = frac{{3 pm sqrt 3 }}{6} Rightarrow left[ begin{array}{l}
Mleft( {frac{{3 + sqrt 3 }}{6};frac{{3 + sqrt 3 }}{6};frac{{3 + sqrt 3 }}{6}} right)\
Mleft( {frac{{3 – sqrt 3 }}{6};frac{{3 – sqrt 3 }}{6};frac{{3 – sqrt 3 }}{6}} right)
end{array} right.$
$TH2:,,a = b = – c Rightarrow frac{{left| {a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow {a^2} – 2a + 1 = 3{a^2} Leftrightarrow a = frac{{ – 1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow left[ begin{array}{l}
left( {frac{{ – 1 + sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 + sqrt 3 }}{2};frac{{1 – sqrt 3 }}{2}} right)\
Mleft( {frac{{ – 1 – sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 – sqrt 3 }}{2};frac{{1 + sqrt 3 }}{2}} right)
end{array} right.$
$TH3:,,a = c = – b Rightarrow frac{{left| {a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow {a^2} – 2a + 1 = 3{a^2} Leftrightarrow a = frac{{ – 1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow left[ begin{array}{l}
Mleft( {frac{{ – 1 + sqrt 3 }}{2};frac{{1 + sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 + sqrt 3 }}{2}} right)\
Mleft( {frac{{ – 1 – sqrt 3 }}{2};frac{{1 + sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 – sqrt 3 }}{2}} right)
end{array} right.$
$TH4:,b = c = – a Rightarrow frac{{left| { – a – 1} right|}}{{sqrt 3 }} = left| a right| Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 = 3{a^2} Leftrightarrow a = frac{{1 pm sqrt 3 }}{2} Rightarrow left[ begin{array}{l}
Mleft( {frac{{1 + sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 – sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 – sqrt 3 }}{2}} right)\
Mleft( {frac{{1 – sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 + sqrt 3 }}{2};frac{{ – 1 + sqrt 3 }}{2}} right)
end{array} right.$
Vậy có tất cả 8 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 42: Đáp án A
Phương pháp:
+) Nhận xét dãy số trên là cấp số nhân, tìm số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}$và công bội q.
+) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân ${{u}_{1}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$
Cách giải:
Dễ thấy dãy số $left( {{u}_{n}} right)$là 1 cấp số nhân có số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=2$và công bội $q=2$
=>Số hạng tổng quát ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}={{2.2}^{n-1}}={{2}^{n}}$
Câu 43: Đáp án A
Phương pháp:
+) Tìm ĐK.
+) Đưa các logarit về cùng cơ số 2, đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc 2, tìm điều kiện của m để phương trình bậc 2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cách giải:$begin{array}{l}
{log _{sqrt 2 }}left( {x – 1} right) = {log _2}left( {mx – 8} right) Leftrightarrow {log _2}{left( {x – 1} right)^2} = {log _2}left( {mx – 8} right)\
Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
{left( {x – 1} right)^2} = mx – 8
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 1\
{x^2} – left( {2 + m} right)x + 9 = 0,,,,left( * right)
end{array} right.
end{array}$
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}>1$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta = {left( {2 + m} right)^2} – 36 > 0\
{x_1} > {x_2} > 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} + 4m – 32 > 0\
left( {{x_1} – 1} right)left( {{x_2} – 1} right) > 0\
{x_1} + {x_2} > 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m < – 8
end{array} right.\
{x_1}{x_2} – left( {{x_1} + {x_2}} right) + 1 > 0\
{x_1} + {x_2} > 2
end{array} right.$
Theo định lí viet có: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2 + m\
{x_1}{x_2} = 9
end{array} right.$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m < – 8
end{array} right.\
9 – 2 – m + 1 > 0\
2 + m > 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4\
m < – 8
end{array} right.\
m < 8\
m > 0
end{array} right. Leftrightarrow 4 < m < 8m in left{ {5;6;7} right}$
Câu 44: Đáp án A
Phương pháp:
+) Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì $d{{left( I;left( P right) right)}_{mtext{ax}}}$
+) Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB. Ta có :$IHle IK$
$Rightarrow {{left( I;left( P right) right)}_{mtext{ax}}}=I{{H}_{mtext{ax}}}=IKLeftrightarrow Hequiv K$
Cách giải:
$begin{array}{l}
B in left( P right) Rightarrow b – 2 = 0 Leftrightarrow b = 2\
A in left( P right) Rightarrow 3a – 2b + 6c – 2 = 0 Rightarrow a + 2c = 2 Rightarrow a = 2 – 2c
end{array}$
Khi đó mặt phẳng (P) có dạng : $left( P right):left( 2-2c right)x+2y+cz-2=0$
Mặt cầu $left( S right)$có tâm $Ileft( 1;2;3 right)$, bán kính $R=5$
Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc của I trên (P) và trên đường thẳng AB. Ta có : $IHle IK$
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì ${{left( I;left( P right) right)}_{mtext{ax}}}=I{{H}_{mtext{ax}}}=IKLeftrightarrow Hequiv K$
Ta có: $overrightarrow{AB}=left( -3;3;-6 right)=-3left( 1;-1;2 right)$
=>Phương trình đường thẳng AB:
$left{ begin{array}{l}
x = t\
y = 1 – t\
z = 2t
end{array} right.,K in AB Rightarrow Kleft( {t;1 – t;2t} right) Rightarrow overrightarrow {IK} = left( {t – 1; – t – 1;2t – 3} right)$
Vì $IKbot ABRightarrow overrightarrow{IK}.overrightarrow{IB}=0Rightarrow left( t-1 right)-left( -t-1 right)+2left( 2t-3 right)=0Leftrightarrow 6t-6=0Leftrightarrow t=1Rightarrow Kleft( 1;0;2 right)$
$d{{left( I;left( P right) right)}_{mtext{ax}}}=I{{H}_{mtext{ax}}}=IKLeftrightarrow Hequiv KRightarrow Hleft( 1;0;2 right)Rightarrow overrightarrow{IH}=left( 0;-2;-1 right)$ là 1 VTPT của (P)
$Rightarrow overrightarrow{IH}$và vec tơ pháp tuyến ${{overrightarrow{n}}_{left( P right)}}left( 2-2c;2;c right)$cùng phương
$begin{array}{l}
{overrightarrow n _{left( P right)}} = k.overrightarrow {IH} Rightarrow left{ begin{array}{l}
2 – 2c = 0\
2 = – 2k\
c = – k
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
c = 1\
k = – 1
end{array} right. Rightarrow a = 2 – 2c = 0\
Rightarrow T = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3
end{array}$
Câu 45: Đáp án D
Phương pháp:
+) Xác định khoảng cách từ A đến (SBC).
+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính SA.
+) Tính thể tích khối chóp $V=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$
Cách giải: Trong $left( SAB right)$kẻ $AHbot SB$ta có:
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
BC bot SA\
BC bot AB
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right) Rightarrow BC bot AH\
Rightarrow AH bot left( {SBC} right) Rightarrow AH = frac{{asqrt 2 }}{2}
end{array}$
Xét tam giác vuông SAB có:
$frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{A{{B}^{2}}}Leftrightarrow frac{2}{{{a}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{{{a}^{2}}}Leftrightarrow SA=a$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}a.{{a}^{2}}=frac{{{a}^{3}}}{3}$
Câu 46: Đáp án D
Phương pháp: Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vecto biểu diễn cho các số phức.
Cách giải: Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện $left| z-1 right|=sqrt{2}$ là đường tròn $left( C right)$ tâm $Ileft( 1;0 right)$bán kính $R=sqrt{2}$
$T=left| z+i right|+left| z-2-i right|=left| z-left( -1 right) right|+left| z-left( 2+i right) right|$
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, $Aleft( 0;-1 right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $-i,Bleft( 2;1 right)$là điểm biểu diễn cho số phức $2+i.$
Dễ thấy $A,Bin left( C right)$ và $AB=sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2sqrt{2}=2RRightarrow AB$là đường kính của đường tròn $left( C right)Rightarrow Delta MAB$ vuông tại M $Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=8Rightarrow MB=sqrt{8-M{{A}^{2}}}$
Ta có: $T=left| overrightarrow{OM}-overrightarrow{OA} right|+left| overrightarrow{OM}-overrightarrow{O}B right|=MA+MB=MA+sqrt{8-M{{A}^{2}}}$
Đặt $MA=xleft( 0le xle 2sqrt{2} right),$xét hàm số $fleft( x right)=x+sqrt{8-{{x}^{2}}}$trên $left[ 0;2sqrt{2} right]$ta có:
$begin{array}{l}
f’left( x right) = 1 – frac{x}{{sqrt {8 – {x^2}} }} = frac{{sqrt {8 – {x^2}} – x}}{{sqrt {8 – {x^2}} }} = 0 Leftrightarrow sqrt {8 – {x^2}} = x Leftrightarrow 8 – {x^2} = {x^2} Leftrightarrow x = 2\
fleft( 0 right) = sqrt 2 ,,,,fleft( {2sqrt 2 } right) = 2sqrt 2 ;,,,fleft( 2 right) = 4 Rightarrow mathop {m{rm{ax}}}limits_{left[ {0;2sqrt 2 } right]} fleft( x right) = fleft( 2 right) = 4
end{array}$
Vậy $max T=4$
Câu 47: Đáp án B
Phương pháp:Tính thể tích ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}$theo $ctext{os}alpha $
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta có: [left{ begin{array}{l}
BC bot AM\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAM} right)]
Trong $left( SAM right)$kẻ $AHbot SMRightarrow AHbot BCRightarrow AHbot left( SBC right)Rightarrow AH=3$
Ta có: $begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
left( {SBC} right) cap left( {ABC} right) = BC\
AM bot BC\
SM bot BC
end{array} right. Rightarrow left( {left( {SBC} right);left( {ABC} right)} right) = left( {AM;SM} right) = SMA = alpha \
Rightarrow AM = frac{{AH}}{{sin alpha }} = frac{3}{{sin alpha }} Rightarrow BC = 2AM = frac{6}{{sin alpha }}\
Rightarrow {S_{ABC}} = frac{1}{2}AM.BC = frac{1}{2}.frac{3}{{sin alpha }}.frac{6}{{sin alpha }} = frac{9}{{{{sin }^2}alpha }}
end{array}$
Trong tam giác vuông SAM có: $SM=frac{AM}{sin alpha }=frac{3}{sin alpha ,ctext{os}alpha }$
$begin{array}{l}
Rightarrow SA = sqrt {S{M^2} – A{M^2}} = sqrt {frac{8}{{{{sin }^2}alpha ,c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha }} – frac{9}{{{{sin }^2}alpha }}} = frac{{3sqrt {1 – c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha } }}{{sin alpha ,c{rm{os}}alpha }} = frac{3}{{c{rm{os}}alpha }}\
Rightarrow {V_{S.ABC}} = frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = frac{1}{3}.frac{3}{{c{rm{os}}alpha }}.frac{9}{{{{sin }^2}alpha }} = frac{9}{{left( {1 – c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha } right)c{rm{os}}alpha }}
end{array}$
Đặt $t=ctext{os}alpha left( 0<t<1 right)Rightarrow fleft( t right)=frac{9}{left( 1-{{t}^{2}} right)t}$
$begin{array}{l}
fleft( {frac{1}{3}} right) = frac{{243}}{8};fleft( {frac{{sqrt 3 }}{3}} right) = frac{{27sqrt 3 }}{2};fleft( {frac{{sqrt 2 }}{2}} right) = 18sqrt 2 ;fleft( {frac{2}{3}} right) = frac{{243}}{{10}}\
Rightarrow mathop {min }limits_{x in left( {0;1} right)} fleft( t right) = fleft( {frac{{sqrt 3 }}{3}} right)
end{array}$
Câu 48: Đáp án D
Phương pháp: AB lớn nhất $Leftrightarrow dleft( I;Delta right)$nhỏ nhất.
Cách giải: Mặt cầu (S) có tâm $Ileft( 0;-2;0 right)$ và bán kính $R=sqrt{5}$
Dễ thấy $Inotin Delta $
Ta có: ${{overrightarrow{u}}_{Delta }}=left( 2;1;-3 right),Mleft( 1;-m;2m right)in Delta ,overrightarrow{IM}=left( 1;2-m;2m right)$
$Rightarrow fleft( I;Delta right)=frac{left| left[ overrightarrow{IM};{{overrightarrow{u}}_{Delta }} right] right|}{left| {{overrightarrow{u}}_{Delta }} right|}=frac{sqrt{21{{m}^{2}}+54}}{sqrt{14}}$
Để AB lớn nhất $Leftrightarrow d{{left( I;Delta right)}_{min }}Leftrightarrow {{left( 21{{m}^{2}}+54 right)}_{min }}Leftrightarrow m=0$
Câu 49: Đáp án A
Phương pháp:
+) Biểu diễn không gian mẫu dưới dạng tập hợp $Omega =left{ left. left( x;y right) right|left| x right|le 4;left| y right|le 4;x;yin mathbb{Z} right},$tìm $left| Omega right|$
+) Gọi A là biến cố: “Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2”, biểu diễn A dưới dạng tập hợp và tìm số phần tử của A.
+) Tính xác suất của biến cố A: [Pleft( A right)=frac{left| A right|}{left| Omega right|}]
Cách giải:
Không gian mẫu $Omega =left{ left. left( x;y right) right|left| x right|le 4;left| y right|le 4;x;yin mathbb{Z} right}$
Có 9 cách chọn x, 9 cách chọn y, do đó $left| Omega right|=9,,x,,9,=81$
Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là hình tròn tâm O bán kính 2.
Gọi A là biến cố: “ Tập hợp các điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2” $Rightarrow A=left{ left( x;y right)+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}le 4 right}Rightarrow {{x}^{2}}le 4Rightarrow -2le xle 2$
Với $x=0Rightarrow yin left{ 0;pm 1;pm 2 right}Rightarrow $có 5 điểm
Với $x=pm 1Rightarrow yin left{ 0;pm 1 right}Rightarrow $Có $2.3=6$điểm
Với $x=pm 2Rightarrow y=0Rightarrow $Có 2 điểm.
$Rightarrow left| A right|=5+6+2=13.$ Vậy $Pleft( A right)=frac{left| A right|}{left| Omega right|}=frac{13}{81}$
Câu 50: Đáp án C
Phương pháp:
+) Tính $f’left( 0 right)$và sử dụng giả thiết $f’left( 0 right)=-22$suy ra 1 phương trình chứa a,b.
+) Tính $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}$và sử dụng giả thiết $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}=5$suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.
+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.
Cách giải:
$begin{array}{l}
f’left( x right) = – 3.frac{a}{{{{left( {x + 1} right)}^4}}} + b{e^x} + b{e^x}\
Rightarrow f’left( 0 right) = – 3a + b = – 22,,,,,,,,,,,left( 1 right)\
intlimits_0^1 {fleft( x right)dx} = intlimits_0^1 {left( {frac{a}{{{{left( {x + 1} right)}^3}}} + bx{e^x}} right)} dx = aintlimits_0^1 {{{left( {x + 1} right)}^{ – 3}}dx + bintlimits_0^1 {x{e^x}dx = a{I_1} + b{I_2}} } \
{I_1} = intlimits_0^1 {{{left( {x + 1} right)}^{ – 3}}dx = left. {frac{{{{left( {x + 1} right)}^{ – 2}}}}{{ – 2}}} right|} _0^1 = frac{{ – 1}}{2}left( {frac{1}{4} – 1} right) = frac{3}{8}
end{array}$
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = {e^x}dx
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = {e^x}
end{array} right. Rightarrow {I_2} = left. {x{e^x}} right|{}_1^0 – intlimits_0^1 {{e^x}dx = left. {e – {e^x}} right|} {}_0^1 = e – left( {e – 1} right) = 1$
$ Rightarrow intlimits_0^1 {fleft( x right)dx} = frac{3}{8}a + b = 5,,,,,,,,left( 2 right)$
Từ (1) và (2) $ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 8\
b = 2
end{array} right.$
