Câu 4: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy điểm $H$ thuộc đoạn $AB$($H$ khác $A$ và $B$), đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $H$ cắt đường tròn $(O)$tại hai điểm $C$ và $D$. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$( $M$ khác $B$ và $C$), gọi $N$ là giao điểm của $AM$ và $CD$.
- Chứng minh tứ giác $BMNH$ nội tiếp đường tròn.
- Chứng minh $MA$ là phân giác của $widehat{CMD}$.
- Chứng minh $A{{D}^{2}}=AM.AN$.
- Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $AM$, $P$ là giao điểm của $AB$ và $DM$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $CMP$.
Lời giải
- Tứ giác $BMNH$ nội tiếp đường tròn vì $widehat{NMB}={{90}^{0}}$( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$Rightarrow $$widehat{NHB}+widehat{NMB}={{180}^{0}}$.
- Ta có dây cung $CD$ vuông góc với đường kính $AB$ do đó $H$ là trung điểm của $CD$ hay tam giác $CAD$ cân tại $A$
$Rightarrow widehat{ACD}=widehat{AMD}=widehat{ADC}=widehat{CMA}$. Vậy $MA$ là phân giác của $widehat{CMD}$.
Ta có $widehat{ADN}=widehat{AMD}$ nên $Delta ADNsim Delta AMD,(g.g)$
$Rightarrow frac{AD}{AM}=frac{AN}{AD}$$Rightarrow A{{D}^{2}}=AM.AN$.
- Ta có $AB$ là trung trực của $CD$ nên $widehat{PCB}=widehat{PDB}$, mà $widehat{PDB}=widehat{BCM}$( Cùng chắn cung $MB$). Do đó $widehat{PCB}=widehat{BCM}$$Rightarrow $$BC$ là phân giác của $widehat{PCM}$. Theo ý $2)$ thì $MA$ là phân giác của $widehat{CMD}$$Rightarrow $$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $CMP$.(dpcm)
Câu 5: Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3.$ Chứng minh rằng:
$frac{1}{4-sqrt{ab}}+frac{1}{4-sqrt{bc}}+frac{1}{4-sqrt{ca}}le 1.$
Lời giải
Đặt $sqrt{a}=x>0;,sqrt{b}=y>0;,sqrt{c}=z>0Rightarrow {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}=3$
Bài toán trở thành chứng minh
$dfrac{1}{4-xy}+dfrac{1}{4-yz}+dfrac{1}{4-ztext{x}}le 1$.
Ta có (begin{align} & frac{2}{4-xy}=1-frac{2-xy}{3-left( xy-1 right)}=1-frac{left( 2-xy right)left[ 3+left( xy-1 right) right]}{left[ 3-left( xy-1 right) right]left[ 3+left( xy-1 right) right]} \ & =1-frac{4-{{left( xy right)}^{2}}}{9-{{left( xy-1 right)}^{2}}}le 1-frac{4-{{left( xy right)}^{2}}}{9}=frac{5+{{left( xy right)}^{2}}}{9} \ end{align})
$ Rightarrow dfrac{1}{{4 – xy}} + frac{1}{{4 – yz}} + dfrac{1}{{4 – z{rm{x}}}} le dfrac{{5 + {{left( {xy} right)}^2}}}{{18}} + dfrac{{5 + {{left( {yz} right)}^2}}}{{18}}dfrac{{5 + {{left( {zx} right)}^2}}}{{18}}$
$ = dfrac{{15 + {{left( {xy} right)}^2} + {{left( {yz} right)}^2} + {{left( {z{rm{x}}} right)}^2}}}{{18}} le dfrac{{15 + {x^4} + {y^4} + {z^4}}}{{18}} = dfrac{{18}}{{18}} = 1$
Vậy $frac{1}{4-sqrt{ab}}+frac{1}{4-sqrt{bc}}+frac{1}{4-sqrt{ca}}le 1.$
