Câu 30: Đáp án D.
Đặt $t = {x^2} + 1 Rightarrow dt = 2xdx,$ $left{ begin{array}{l}
x = 1 to t = 2\
x = 2 to t = 5
end{array} right.$ $ Rightarrow intlimits_1^2 {fleft( {{x^x} + 1} right)xdx = frac{1}{2}intlimits_2^5 {fleft( t right)dt = frac{1}{2}intlimits_2^5 {fleft( x right)dx = frac{I}{2} Rightarrow I = 4.} } } $
Câu 31: Đáp án B.
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = cos xdx
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = dx\
v = {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}
end{array} right. Rightarrow I = xsin x – int {sin {rm{x}}dx = x{mathop{rm sinx}nolimits} + cos x + C.} $
Câu 32: Đáp án C.
Ta có $intlimits_a^b {left( {2x – 1} right)dx = left( {{x^2} – x} right)left| begin{array}{l}
^b\
_a
end{array} right. = left( {{b^2} – {a^2}} right) – left( {b – a} right) = 1 Leftrightarrow {b^2} – {a^2} = b – a + 1.} $
Câu 33: Đáp án D.
Tổng số trận các đội phải đá là $8.15.2=240$ trận.
Suy ra có $240-80=160$ trận không kết thúc với tỉ số hòa.
Suy ra tổng điểm các đội giành được là $160.3+80.2=640$ điểm.
Câu 34: Đáp án A.
$PTLeftrightarrow sin 2x=-1Leftrightarrow 2x=-frac{pi }{2}+k2pi Leftrightarrow x=-frac{pi }{4}+kpi left( kin mathbb{Z} right).$
$xin left[ -frac{3pi }{2};10pi right]Rightarrow -frac{3pi }{2}le -frac{pi }{4}+kpi le 10pi Leftrightarrow -1,25le kle 10,25$
Suy ra PT có 12 nghiệm trên đoạn $left[ -frac{3pi }{2};10pi right].$
Câu 35: Đáp án c.
Tâm bát diện đều SABCDS’ là tâm của hình vuông ABCD $Rightarrow R=frac{AC}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$
Do đó $V=frac{4}{3}pi {{R}^{3}}=frac{sqrt{2}}{3}pi {{a}^{3}}.$
Câu 36: Đáp án A.
Gọi $Ileft( 1+2t;-1+t;-t right)in d$ ta có: $overrightarrow{MI}left( 2t-1;t-2;-t right)$
Giải $overrightarrow{MI}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t-2+t-2+t=0Leftrightarrow t=-frac{2}{3}Rightarrow overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=overrightarrow{MI}=left( frac{1}{3};-frac{4}{3};-frac{2}{3} right)$
Suy ra $d:frac{x-2}{4}=frac{y-1}{-4}=frac{z}{-2}.$
Câu 37: Đáp án B.
Ta có: $dleft( O;left( P right) right)le OM$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow OMbot left( P right)Rightarrow left( P right):1left( x-1 right)+2left( y-2 right)+3left( z-3 right)=0$
Hay $left( P right):x+2y+3z-14=0$ $Rightarrow Aleft( 14;0;0 right);Bleft( 0;7;0 right);Cleft( 0;0;frac{14}{3} right)$ $Rightarrow {{V}_{O.ABC}}=frac{1}{6}OA.OB.OC=frac{686}{9}.$
Câu 38: Đáp án B.
$PT Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
sin x = 1\
2{cos ^2}x – left( {2m + 1} right)cos x + m = 0
end{array} right.$
Với $operatorname{s}text{inx}=1Rightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi $ do đó $xin left[ 0;2pi right]Rightarrow x=frac{pi }{2}.$
Với $2{{cos }^{2}}x-left( 2m+1 right)cos x+m=0Leftrightarrow 2{{cos }^{2}}x-cos x=left( 2cos x-1 right)m$ $ Leftrightarrow left( {2cos x – 1} right)left( {m – cos x} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
cos x = frac{1}{2}\
m = cos x
end{array} right.$
PT: $cos x=frac{1}{2}$ có 2 nghiệm thuộc trên đoạn $left[ 0;2pi right]$ do đó để PT đã cho có 4 nghiệm thực thuộc đoạn $left[ 0;2pi right]$ thì
TH1: $m=cos x$ có 1 nghiệm thuộc đoạn $left[ {0;2pi } right] Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = – 1 Rightarrow x = – pi \
m = 1 Rightarrow x = 0;x = 2pi ,,left( {loai} right)
end{array} right..$
TH2: $m=cos x$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $left[ 0;2pi right]$ trong đó có 1 nghiệm trùng $x=frac{pi }{2}Leftrightarrow m=0Rightarrow x=-frac{pi }{2}.$
Vậy $m=-1;m=0.$
Câu 39: Đáp án D.
Hàm số có tập xác định $Dleft( -2;2 right)Rightarrow $ đồ thị hàm số không có TCN.
Ta có $sqrt{16-{{x}^{4}}}=0Leftrightarrow x=pm 2,underset{xto 2}{mathop{lim }},y=infty Rightarrow $ đồ thị hàm số có TCĐ $x=2.$
Câu 40: Đáp án B.
Ta có $y’=-frac{operatorname{s}text{inx}}{cos x+2}-m=-frac{operatorname{s}text{inx}+mcos x+2m}{cos x+2}$.
Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}Leftrightarrow y’ge 0,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow -left( operatorname{s}text{inx}+mcos x+2m right)ge 0Leftrightarrow operatorname{s}text{inx}+mcos xle -2m$
$ Leftrightarrow – frac{{2m}}{{sqrt {1 + {m^2}} }} ge 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– 2m ge 0\
4{m^2} ge 1 + {m^2}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m le 0\
{m^2} ge frac{1}{3}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m le 0\
left[ begin{array}{l}
m ge frac{1}{{sqrt 3 }}\
m le – frac{1}{{sqrt 3 }}
end{array} right.
end{array} right. Rightarrow m le – frac{1}{{sqrt 3 }}$
$Leftrightarrow min left( -infty ;-frac{1}{sqrt{3}} right].$
Câu 41: Đáp án A.
Gọi K là trung điểm của BC và $I=SKcap text{EF}text{.}$
Từ gt$Rightarrow EF=frac{1}{2}BC=frac{a}{2},,EF//BCRightarrow $ I là trung điểm của SK và EF.
Ta có $Delta SAB=Delta SACRightarrow $ Hai trung tuyến tương ứng $AE=text{AF}.$
$Rightarrow $ Tam giác AEF cân tại $ARightarrow AIbot text{AF}$
Mặt khác $left( SBC right)bot left( AEF right)Rightarrow AIbot left( SBC right)Rightarrow AIbot SK.$
Suy ra $Delta SAK$ cân tại $ARightarrow SA=AK=frac{asqrt{3}}{2}.$
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=frac{1}{3}.sqrt{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{a}^{3}}sqrt{5}}{24}.$
Câu 42: Đáp án C.
Ta có $2I=intlimits_{0}^{1}{2fleft( x right)dx=intlimits_{0}^{1}{left[ sqrt{1-{{x}^{2}}}-3fleft( 1-x right) right]}}dx=intlimits_{0}^{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx-3intlimits_{0}^{1}{fleft( 1-x right)dx.}$
Mà $intlimits_{0}^{1}{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx=frac{pi }{4}}$ (casio) và $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx=intlimits_{0}^{1}{fleft( 1-x right)dxRightarrow 2I=frac{pi }{4}-3ILeftrightarrow I=frac{pi }{20}.}}$
Câu 43: Đáp án D.
Gọi r,l lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh của hình nón $Rightarrow $ chiều cao $h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}.$
Từ giả thiết, ta có $frac{1}{{{r}^{2}}}+frac{1}{{{h}^{2}}}=frac{1}{3}$ và $h=rsqrt{3}$ suy ra $r=2Rightarrow h=2sqrt{3}Rightarrow l=sqrt{{{2}^{2}}+{{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}}=4.$
Vậy diện tích toàn phàn của hình nón là ${{S}_{tp}}=pi rl+pi {{r}^{2}}=pi .2.4+pi {{2}^{2}}=12pi .$
Câu 44: Đáp án C.
Chọn 1 đỉnh bất kỳ có 100 cách
Tam giác tù nên 3 đỉnh nằm trên nửa dường tròn. Để tạo tam giác tù thì 2 đỉnh kia phải chọn trong 49 đỉnh còn lại của nửa đường tròn. Vậy có: $100.C_{49}^{2}=117600$ tam giác.
Câu 45: Đáp án A.
Do $AD//BCRightarrow dleft( AD;SK right)=dleft( AD;left( SBC right) right)$
Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên $SObot left( ABCD right)$
Khi đó $d=dleft( A;left( SBC right) right)=2dleft( O;left( SBC right) right)$
Dựng $OEbot BC;text{OF}bot text{SE}Rightarrow text{d=2OF}$
Trong đó $OE=a;SO=sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=frac{asqrt{11}}{2}$
Suy ra $d=2frac{SO.OE}{sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=frac{2asqrt{165}}{15}.$
Câu 46: Đáp án D.
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3} Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = {x_1}{x_2}{x_3} = frac{1}{a} > 0\
{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_2}{x_3} = frac{b}{a}
end{array} right..$
Khi đó $P=frac{5{{a}^{2}}-ab+2}{{{a}^{2}}left( b-a right)}=frac{frac{5}{a}-frac{3b}{{{a}^{2}}}+frac{2}{{{a}^{3}}}}{frac{b}{a}-1}$ mà ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}le frac{{{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} right)}^{2}}}{3}Leftrightarrow frac{b}{a}le frac{1}{3{{a}^{2}}}$
Do ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}ge 3sqrt[3]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}}Rightarrow frac{1}{{{a}^{2}}}ge frac{27}{a}Leftrightarrow ale frac{1}{3sqrt{3}}$
Suy ra $P=frac{frac{5}{a}-frac{3}{a}.frac{b}{a}+frac{2}{{{a}^{2}}}}{frac{b}{a}-1}ge frac{frac{5}{a}-frac{3}{a}.frac{1}{3{{a}^{2}}}+frac{2}{{{a}^{3}}}}{frac{1}{3{{a}^{3}}}-1}=frac{15{{a}^{2}}+3}{a-3{{a}^{3}}}=fleft( x right),$ với $0<a<frac{1}{3sqrt{3}}$
Xét hàm số $fleft( a right)=frac{15{{a}^{2}}+3}{a-3{{a}^{3}}}left( ale frac{1}{3sqrt{3}} right)Rightarrow underset{left( 0;frac{1}{3sqrt{3}} right]}{mathop{Min}},fleft( a right)=fleft( frac{1}{3sqrt{3}} right)=12sqrt{3}.$
Câu 47: Đáp án C.
Ta có ${e^x} – {e^{ – x}} = 2cos ax + 4 Leftrightarrow {left( {{e^{frac{x}{2}}} – {e^{ – frac{x}{2}}}} right)^2} = 2left( {cos {rm{ax + 1}}} right)$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{e^{frac{x}{2}}} – {e^{ – frac{x}{2}}} = 2cos frac{{ax}}{2},,,,,,left( 1 right)\
{e^{frac{x}{2}}} – {e^{ – frac{x}{2}}} = – 2cos frac{{ax}}{2},,,left( 2 right)
end{array} right..$
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2operatorname{cosa}x$ (*), thì ${{x}_{0}}ne 0$ và $2{{x}_{0}}$ là nghiệm của (1) và $-2{{x}_{0}}$ là nghiệm của (2) hoặc ngược lại.
Phương trình (*) có 5 nghiemj nên hai phương trình (1), (2) có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2operatorname{cosa}x+4$ có 10 nghiệm phân biệt.
Câu 48: Đáp án B.
Ta có: $g’left( x right) = 2f’left( x right) – 2left( {x + 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 3\
x = 1\
x = 3
end{array} right.$
Với $x<-3$ ta có: $f’left( x right)<x+1$ suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $left( -infty ;-3 right)$
Tương tự ta suy ra hình dạng đồ thị hàm số $gleft( x right)$ bên dưới, ta cần so sánh $gleft( -3 right)$ và $gleft( 3 right).$
Ta có $gleft( x right)=2fleft( x right)-{{left( x+1 right)}^{2}}Rightarrow g’left( x right)=2f’left( x right)-2left( x+1 right);forall xin mathbb{R}.$
Phương trình $g’left( x right) = Leftrightarrow f’left( x right) = x + 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = pm 3\
x = 1
end{array} right.$ (Dựa vào ĐTHS $y=f’left( x right)$).
Bảng xét dấu $g’left( x right)$
|
x |
-3 1 3 |
|
g’(x) |
0 + 0 – 0 |
Dựa vào bảng xét dấu, ta được $underset{left[ -3;3 right]}{mathop{max}},gleft( x right)=gleft( 1 right).$
Dựa vào hình vẽ lại có $intlimits_{-3}^{1}{left[ 2f’left( x right)-2x right]},dx>-intlimits_{1}^{3}{left[ 2f’left( x right)-2x right]dx}$
Do đó $gleft( 1 right)-gleft( -3 right)>gleft( 1 right)-gleft( 3 right)Leftrightarrow gleft( 3 right)>gleft( -3 right).$
Câu 49: Đáp án A.
Giải nhanh: Chọn trường hợp đăc biệt nhất là S.ABCD là chóp đều có chiều cao h và cạnh đáy bằng $AB=a,$ khi đó S.MNPQ có chiều cao $frac{2h}{3}$ và cạnh đáy là $MN=frac{2}{3}.frac{1}{2}AC=frac{asqrt{2}}{3}$
Suy ra $frac{{{V}_{S.ABCD}}}{{{V}_{S.MNPQ}}}=frac{2}{3}.{{left( frac{sqrt{2}}{3} right)}^{2}}=frac{4}{27}.$
Câu 50: Đáp án B.
Tam giác ABC vuống tại A, có $AB=AC.tan {{60}^{0}}=asqrt{3}Rightarrow BC=2a.$
Và $ABbot AC$ mà $text{AA }!!’!!text{ }bot left( ABC right)Rightarrow ABbot mpleft( ACC’A’ right).$
Khi đó $widehat{BC’;left( ACC’A’ right)}=widehat{left( BC’;AC’ right)}=widehat{BAC’}={{30}^{0}}Rightarrow BC’=frac{AB}{sin {{30}^{0}}}=2asqrt{3}.$
Tam giác $BCC’$ vuông tại C, có $CC’=sqrt{BC{{‘}^{2}}-BC{{‘}^{2}}}=2asqrt{2.}$
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là $V=text{AA }!!’!!text{ }times {{text{S}}_{Delta ABC}}=2asqrt{2}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}={{a}^{3}}sqrt{6}.$
