Ta có trung điểm M của AB là $Mleft( {4;2;0} right) Rightarrow OM:left{ begin{array}{l}
x = 4t\
y = 2t\
z = 0
end{array} right.$
Lại có $Kin OMRightarrow Kleft( 4t;2t;0 right)Rightarrow overline{AK}=left( 4t-5;2t;0 right)$
Suy ra $overrightarrow{AK}.overrightarrow{OB}=0Leftrightarrow 3left( 4t-5 right)+4.2t=0Leftrightarrow t=frac{3}{4}Rightarrow Kleft( 3;frac{3}{2};0 right)$
Vậy bán kính đường tròn cần tính $R=frac{KM}{2}=frac{sqrt{5}}{4}$
Câu 43: Đáp án D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
Ta có $SA=SORightarrow Delta SHA=Delta SHOleft( c-g-c right)Rightarrow HA=HO$
$Rightarrow Delta HAO$ cân tại H, có $left{ begin{array}{l}
widehat {HAO} = 30^circ \
OA = a
end{array} right. Rightarrow HA = frac{a}{{sqrt 3 }} Rightarrow HD = frac{{2a}}{{sqrt 3 }}$
Xác định góc $widehat{SD;left( ABCD right)}=widehat{SDH}=60{}^circ Rightarrow SH=2a$
Qua B kẻ đường thẳng $d//AC,K$ là hình chiếu của H trên d
$Rightarrow AC//left( SBK right)Rightarrow dleft( SB;AC right)=dleft( AC;left( SBK right) right)=dleft( A;left( SBK right) right)$
Mặt khác $frac{dleft( H;d right)}{dleft( A;d right)}=frac{4}{3}Rightarrow dleft( A;left( SBK right) right)=frac{3}{4}dleft( H;left( SBK right) right)$
Vậy $dleft( A;left( SBK right) right)=frac{3}{4}frac{SH.HK}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=frac{3a}{4}Rightarrow dleft( SB;AC right)=frac{3a}{4}$
Câu 44: Đáp án C
Câu 30: Đáp án A
phương trình $fleft( x right)+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow -1<-m<2Leftrightarrow -2<m<1$
Câu 31: Đáp án D
Do A và B là 2 biến cố độc lập với nhau nên $Pleft( A.B right)=Pleft( A right).Pleft( B right)=0,12$
Câu 32: Đáp án A
Ta có $dleft( AM;B’N right)=dleft( ABC;A’B’C’ right)=AA’=2a$
Câu 33: Đáp án B
Đặt $widehat{text{CEF}}=varphi Rightarrow widehat{text{AED}}=90{}^circ -varphi $
KHI ĐO $AE=frac{DE}{cosleft( 90{}^circ -varphi right)};EC=frac{EF}{cosvarphi }$
Do đó
$AC=frac{2}{sin varphi }+frac{2}{cosvarphi }ge frac{8}{sin varphi +cosvarphi }ge frac{8}{sqrt{2}sin left( varphi +frac{pi }{4} right)}ge 4sqrt{2}$
Câu 34: Đáp án B
Dựng $left{ begin{array}{l}
AE bot BC\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SEA} right)$
Do đo góc giữa 2 mặt phẳng $left( SBC right)$ và $left( ABC right)$ bằng $widehat{SEA}$
Ta có $AE=frac{BC}{2}=a;SA=aRightarrow widehat{SEA}=45{}^circ $
Câu 35: Đáp án D
$f’left( x right)=3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow x=2Rightarrow $với $xin left[ 1;3 right]$
$fleft( 1 right)=m-2;fleft( 2 right)=m-4;fleft( 3 right)=mRightarrow underset{left[ 1;3 right]}{mathop{min }},fleft( x right)=m-4$
Để với mọi bộ ba số phân biệt $a,b,cin left[ 1;3 right]$ thì $fleft( a right),fleft( b right),fleft( c right)$ là ba cạnh của một tam giác thì $left{ begin{array}{l}
10 > m > 4\
fleft( a right) + fleft( b right) + fleft( c right)left( {forall a,b,c in left[ {1;3} right]} right)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
10 > m > 4\
2left( {m – 4} right) ge m
end{array} right. Leftrightarrow 10 > m ge 8 Rightarrow m = left{ {8;9} right}$
Câu 36: Đáp án A
Ta có $y’=4{{x}^{3}}+4xRightarrow y’left( 1 right)=-8,y’left( -1 right)=2$
PTTT:$y=-8left( x+1 right)+2=-8x-6$
Câu 37: Đáp án B
Xét khai triển ${{left( x-1 right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{c}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}-…+{{left( -1 right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{0}}$
Chọn $x=3Rightarrow $ ${{3}^{n}}C_{n}^{0}-{{3}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{3}^{n-2}}C_{n}^{2}-…+{{left( -1 right)}^{n}}C_{n}^{n}=2048Rightarrow n=11$
Hệ số của ${{x}^{10}}$ trong khai triển ${{left( x+2 right)}^{n}}$ là $C_{11}^{10}.2=22$
Câu 38: Đáp án C
Đặt $t={{2}^{x}}>0Rightarrow {{t}^{2}}-2m-3=0$
Điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $left{ begin{array}{l}
Delta ‘ = {m^2} – 3m + 3 > 0\
S = 2m > 0\
P = 3m – 3 > 0
end{array} right. Leftrightarrow m > 1$
Khi đó $left{ begin{array}{l}
{2^{{x_1}}} = {t_1}\
{2^{{x_2}}} = {t_2}
end{array} right. Rightarrow {x_1} = {log _2}{t_1};{x_2} = {log _2}{t_2}$
Để ${{x}_{1}}{{x}_{2}}<0Rightarrow 0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}Rightarrow left( {{t}_{1}}-1 right)left( {{t}_{2}}-1 right)<0Leftrightarrow {{t}_{1}}{{t}_{2}}-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}<0$
$Leftrightarrow 3m-3-2m+1=m-2<0Leftrightarrow m<2$
Vậy $min left( 1;2 right)$
Câu 39: Đáp án D
Gọi
$begin{array}{l}
Aleft( { – 1 + 2t; – 1 + t; – 1 + 3t} right) in {d_1}\
Bleft( {2 + u;2u;3 + 3u} right)
end{array}$
Khi đó $overrightarrow{AB}=left( 3+u-2t;2u-t;4+3u-3t right)$
Ta có $left{ begin{array}{l}
overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_1}} = 0\
overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_2}} = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2left( {3 + u – 2t} right) + 1 + 2u – t + 3left( {4 + 3u – 3t} right) = 0\
1left( {3 + u – 2t} right) + 2left( {1 + 2u – t} right) + 3left( {4 + 3u – 3t} right) = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
u = frac{1}{3}\
t = frac{5}{3}
end{array} right.$
Suy ra $Aleft( frac{7}{3};frac{2}{3};4 right),Bleft( frac{7}{3};frac{2}{3};4 right)Rightarrow {{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$tại điểm $left( frac{7}{3};frac{2}{3};4 right)$do đó không tồn tại mặt cầu thỏa mãn
Câu 40: Đáp án B
Gọi $Aleft( -1+2t;-1+t;2-t right)in {{d}_{1}};Bleft( 1-u;2+u;3+3u right)in {{d}_{2}}$
$begin{array}{l}
Rightarrow overrightarrow {AB} = left( {2 – u – 2t;3 + u – t;1 + 3u + t} right)\
do{rm{ }}AB//d Rightarrow frac{{2 – u – 2t}}{1} = frac{{3 + u – t}}{1} = frac{{1 + 3u + t}}{{ – 1}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
t = 1\
u = – 1
end{array} right.
end{array}$
$Rightarrow left( Delta right):frac{x-1}{1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-1}$
Câu 41: Đáp án B
Ta có $y’=frac{{{x}^{2}}+2x-m}{{{left( x+1 right)}^{2}}},forall xne -1.$
Phương trình $y’=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-m=0left( * right)$
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1Leftrightarrow m>-1$
Khi đó gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
Suy ra $overrightarrow{AB}=left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}} right)$ mà $overrightarrow{AB}=left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}} right)$
Do đó $AB=sqrt{5{{left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} right)}^{2}}}=5Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}=5Leftrightarrow $ ${{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=5$(1)
Theo hệ thức viet cho phương trình (*) ta được ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-m$(2)
Từ (1) và (2) suy ra ${{left( -2 right)}^{2}}+4m=5Leftrightarrow m=frac{1}{4}$ (thỏa mãn dk)
Chú ý: Đồ thị hàm số $y=frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{dx+e}$ có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=frac{left( a{{x}^{2}}+bx+c right)’}{left( dx+e right)’}$
Câu 42: Đáp án A
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB
Và M là trung điểm của $ABRightarrow OMbot AB$ vì tam giác OAB cân
Mà $IH=frac{1}{3}dleft( C;left( AB right) right)=frac{1}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{6}Rightarrow SI=tan 60{}^circ .frac{asqrt{3}}{6}=frac{a}{2}$Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của I trên AB $Rightarrow widehat{left( SAB right);left( ABCD right)}=widehat{SH;HI}=widehat{SHI}=60{}^circ $
Kẻ $IKbot CD;IEbot SKRightarrow IEbot left( SCD right)Rightarrow dleft( I;left( SCD right) right)=IE$
Mà $IK=frac{2}{3}dleft( B;left( CD right) right)=frac{2}{3}frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}Rightarrow IE=frac{SI.IK}{sqrt{S{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}}}=frac{asqrt{7}}{7}$
Vậy $dleft( B;left( SCD right) right)=frac{3}{2}dleft( I;left( SCD right) right)=frac{3asqrt{7}}{14}$
Câu 45: Đáp án C
Vì AB giao mặt phẳng $left( alpha right)$ tại $ARightarrow Aleft( 1;2;0 right)$
Điểm $Bin left( AB right)Rightarrow Bleft( t+3;t+4;-4t-8 right)Rightarrow overrightarrow{AB}=left( t+2;t+2;-4t-8 right)$
Mà
Gọi H là hình chiếu của B trên $left( alpha right)$
Khi đó $BH=dleft( B;left( alpha right) right)=frac{left| 2-4-1 right|}{sqrt{2}}=frac{3sqrt{2}}{2}$
Vì $left{ begin{array}{l}
AB = 3sqrt 2 \
widehat {ABC} = 60^circ
end{array} right. Rightarrow BC = 3sqrt 2 cos60^circ = frac{{3sqrt 2 }}{2}$
Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền $Rightarrow BH<BC$
Mà $BH=BC=frac{3sqrt{2}}{2}Leftrightarrow Hequiv CRightarrow C$ là hình chiếu của B trên mặt phẳng $left( alpha right)$
phương trình BC $left{ begin{array}{l}
x = 2 + t\
y = 3\
z = – 4 + t
end{array} right. Rightarrow C equiv BC cap left( alpha right) Rightarrow Cleft( {frac{7}{2};3; – frac{5}{2}} right) Rightarrow a + b + c = 4$
Câu 46: Đáp án C
Vì $left( Ctext{DD}’C’ right)//left( ABB’A’ right)Rightarrow widehat{left( ABCD right);left( Ctext{DD}’C’ right)}=widehat{left( ABCD right);left( ABB’A’ right)}$
Ta có $left{ begin{array}{l}
B’D’ = 3a\
A’B’ = asqrt 3
end{array} right. Rightarrow AM = sqrt {A’B{‘^2} – {{left( {frac{{B’D’}}{2}} right)}^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow A’C’ = asqrt 3 Rightarrow Delta A’B’C’$ đều
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C’, M trên $A’B’$
$Rightarrow MK=frac{1}{2}C’HRightarrow MK=frac{1}{2}.frac{A’B’.sqrt{3}}{2}=frac{3a}{4}$
Lại có $left{ begin{array}{l}
A’B’ bot MK\
A’B’ bot BM
end{array} right. Rightarrow A’B’ bot left( {BMK} right) Rightarrow A’B’ bot BK Rightarrow widehat {left( {ABCD} right);left( {ABB’A’} right)} = widehat {BKM}$
Xét tam giác BKM vuông tại M, ta có $BM=tan widehat{BMK}.MK=sqrt{frac{1}{co{{s}^{2}}alpha }-1}.frac{3a}{4}=frac{asqrt{3}}{2}$
khi đó ${{V}_{ABCD.A’B’C’D’}}={{S}_{A’B’C’D’}}.BM=2{{S}_{A’B’C’}}.BM=2frac{{{left( asqrt{3} right)}^{2}}sqrt{3}}{4}.frac{asqrt{3}}{2}=frac{9{{a}^{3}}}{4}$
Câu 47: Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm $frac{{2x – 1}}{{x + 1}} = x + m Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ne – 1\
underbrace {{x^2} + left( {m – 1} right)x + m + 1}_{fleft( x right)} = 0
end{array} right.$
Để (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt $ Leftrightarrow fleft( x right) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $ – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > 3 + 2sqrt 3 \
m < 3 – 2sqrt 3
end{array} right.$
Khi đó, gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m right),Bleft( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m right)$ là giao điểm của $left( C right)$ cắt d
Theo hệ thức viet ta có $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1 – m\
{x_1}.{x_2} = m + 1
end{array} right. Rightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} – 4{x_1}.{x_2} = {m^2} – 6m – 3left( 1 right)$
Do đó $ABle 4Leftrightarrow A{{B}^{2}}le 16Leftrightarrow 2{{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}le 16Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}le 8left( 2 right)$
TỪ $left( 1 right),left( 2 right)$ suy ra $0<{{m}^{2}}-6m-3le 8,$ kết hợp với $m in left[ begin{array}{l}
m = – 1\
m = 7
end{array} right.$
Câu 48: Đáp án A
Ta có
Suy ra $P=sqrt{lo{{g}_{3}}2}.sqrt{{{log }_{2}}a}+sqrt{{{log }_{2}}3}.sqrt{{{log }_{3}}b}$
$Rightarrow {{P}^{2}}le left( {{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3 right)left( {{log }_{2}}a+{{log }_{3}}b right)={{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3$ (bdt Bunhiacopxki)
$Rightarrow Ple sqrt{{{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3}.$
Vậy giá trị lớn nhất là $sqrt{{{log }_{3}}2+{{log }_{2}}3}$
Câu 49: Đáp án A
Ta có $y’=-frac{1}{{{left( 2x+3 right)}^{2}}}<0,forall xne -frac{3}{2}Rightarrow $tiếp tuyến của đồ thị (C) đều có hệ số góc âm
Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng $frac{x}{a}+frac{b}{y}=1$ với $Aleft( a;0 right),Bleft( 0;b right)$
Tam giác OAB cân $ Rightarrow OA = OB Rightarrow left| a right| = left| b right| Rightarrow left[ begin{array}{l}
a = b\
a = – b
end{array} right.$
Mà d phải có hệ số góc âm nên $a=bRightarrow left( d right):frac{x}{a}+frac{y}{a}=1Leftrightarrow y=-x+a$
Suy ra $k = – frac{1}{{{{left( {2x + 3} right)}^2}}} = – 1 Rightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 2 Rightarrow yleft( { – 2} right) = 0\
x = – 1 Rightarrow yleft( { – 1} right) = 1
end{array} right. Rightarrow a = – 2.$
Vậy $left( d right):y=-x-2$
Câu 50: Đáp án D
Điểm $Aleft( -1;0 right)$ thuộc đồ thị hàm số $left( C right)Rightarrow a+b+c=0$
Phương trình tiếp tuyến tại $Aleft( -1;0 right)$là $left( d right):y=y’left( 1 right)left( x+1 right)=left( -4a-2b right)left( x+1 right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra $left( -4a-2b right)left( x+1 right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cleft( * right)$
Mà $x = 0,x = 2$ là nghiệm của (*) suy ra $left{ begin{array}{l}
– 4a – 2b = c\
– 12a – 6b = 16a + 4b + c
end{array} right.left( 1 right)$
Và $frac{28}{5}=intlimits_{0}^{2}{left[ left( -4a-2b right)left( x+1 right)-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c right]}dx=4left( -4a-2b right)-frac{32}{3}a-frac{8}{3}b-2c=frac{28}{5}left( 2 right)$
Từ $left( 1 right),left( 2 right)$ suy ra $a=1,b=-3,c=2xrightarrow{{}}y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$
Vậy diện tích cần tính là $S=intlimits_{0}^{2}{left| 2x+2-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-2 right|}dx=frac{1}{5}$
