Lời giải – đề 8 – trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM

BÀI THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG

NĂM HỌC 2018-2019

NGÀY THI: 07/6/2018

MÔN THI: TOÁN

 (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang)

Câu

Hướng dẫn giải

Điểm

Câu I

(5.0 đ)

Phần 1.a

(2,0 điểm)

+ Biến đổi  $dfrac{{x + 4sqrt x  + 4}}{{x + sqrt x  – 2}} + dfrac{{x + sqrt x }}{{1 – x}} = dfrac{{{{left( {sqrt x  + 2} right)}^2}}}{{left( {sqrt x  – 1} right)left( {sqrt x  + 2} right)}} – dfrac{{sqrt x left( {sqrt x  + 1} right)}}{{left( {sqrt x  – 1} right)left( {sqrt x  + 1} right)}}$     

                                                         = $dfrac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}-1}-dfrac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}=dfrac{2}{sqrt{x}-1}$

0.5

+ Biến đổi $dfrac{1}{sqrt{x}+1}-dfrac{1}{1-sqrt{x}}=dfrac{2sqrt{x}}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}$

0.5

+ Ta có  $A=dfrac{2}{sqrt{x}-1}:dfrac{2sqrt{x}}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}=dfrac{2}{sqrt{x}-1}.dfrac{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}{2sqrt{x}}$

0.5

+ Vậy $A=dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}$, với điều kiện  $x>0,,,xne 1$.

0,5

Phần 1.b

(1,0 điểm)

$Age dfrac{1+sqrt{2018}}{sqrt{2018}}Leftrightarrow 1+dfrac{1}{sqrt{x}}ge 1+dfrac{1}{sqrt{2018}}Leftrightarrow dfrac{1}{sqrt{x}}ge dfrac{1}{sqrt{2018}}$

0.5

$sqrt{x}le sqrt{2018}Rightarrow 0<xle 2018$

0.25

Vì $x>0,,,xne 1$ và $x$ nguyên nên $xin left{ 2;3;4;…;2018 right}$. Suy ra có 2017 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bài toán.

0.25

Phần 2

(2,0 điểm)

 Phương trình ${{x}^{2}}-left( m+1 right)x-3=0$ (1)

+ Nhận xét $Delta ={{left( m+1 right)}^{2}}+12>0,,,forall min mathbb{R}$. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

+ Theo hệ thức Viet ta có: $left{ begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m + 1\
{x_1}{x_2} =  – 3
end{array} right.$

0.25

Ta có $B = dfrac{{3x_1^2 + 3x_2^2 + 4{x_1} + 4{x_2} – 5}}{{x_1^2 + x_2^2 – 4}} = frac{{3left( {x_1^2 + x_2^2} right) + 4left( {{x_1} + {x_2}} right) – 5}}{{x_1^2 + x_2^2 – 4}}$

$ = dfrac{{3left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 2{x_1}{x_2}} right] + 4left( {{x_1} + {x_2}} right) – 5}}{{{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 2{x_1}{x_2} – 4}} = dfrac{{3left[ {{{left( {m + 1} right)}^2} + 6} right] + 4left( {m + 1} right) – 5}}{{{{left( {m + 1} right)}^2} + 6 – 4}}$

$ = frac{{3{m^2} + 10m + 20}}{{{m^2} + 2m + 3}}$

0.5

 $ Leftrightarrow left( {B – 3} right){m^2} + 2left( {B – 5} right)m + 3B – 20 = 0$ (*)

+ Nếu $B = 3$ thì $m =  – dfrac{{11}}{4}.$

+ Nếu $B ne 3$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn $m$. Phương trình (*) có nghiệm  khi và chỉ khi $Delta ‘ ge 0$

0.5

 hay ${left( {B – 5} right)^2} – left( {B – 3} right)left( {3B – 20} right) ge 0 Leftrightarrow 2{B^2} – 19B + 35 le 0 Leftrightarrow frac{5}{2} le B le 7$ .

0.25

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi $m =  – frac{1}{2}.$

0.5

Câu II

(5.0 đ)

Phần 1

(2.5 điểm)

+ Điều kiện $x + 3 ge 0 Leftrightarrow x ge  – 3$

+ Phương trình đã cho tương đương $left( {sqrt {x + 3}  – 2} right) + left( {{x^2} + 4x – 5} right) = 0$

0,25

$Leftrightarrow frac{{x – 1}}{{sqrt {x + 3}  + 2}} + left( {x – 1} right)left( {x + 5} right) = 0$

0.5

           $ Leftrightarrow left( {x – 1} right)left[ {dfrac{1}{{sqrt {x + 3}  + 2}} + left( {x + 5} right)} right] = 0$$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 1 = 0\
dfrac{1}{{sqrt {x + 3}  + 2}} + left( {x + 5} right) = 0
end{array} right.$

0.75

+) $x – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1.$

+)  $dfrac{1}{{sqrt {x + 3}  + 2}} + left( {x + 5} right) = 0$ vô nghiệm vì $frac{1}{{sqrt {x + 3}  + 2}} + left( {x + 5} right) > 0,,forall x ge  – 3.$

0.75

+ So sánh điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là $left{ 1 right}$.

0.25

Phần 2

(2.5 điểm)

+ ) Điều kiện $x ge dfrac{6}{5},y le frac{{16}}{3}$

+)${x^2} – xy – x + 3y – 6 = 0 Leftrightarrow left( {x – 3} right)left( {x – y + 2} right) = 0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
y = x + 2
end{array} right.$

0.75

+) Với $x = 3$  thay vào phương trình $sqrt {5x – 6}  + sqrt {16 – 3y}  = 2{x^2} – 2x + y – 4$, ta được $sqrt {16 – 3y}  = y + 5 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{y^2} + 13y + 9 = 0\
y ge  – 5
end{array} right. Leftrightarrow y = frac{{ – 13 + sqrt {133} }}{2}$.

0.75

+) $y=x+2$ thay vào phương trình $sqrt{5x-6}+sqrt{16-3y}=2{{x}^{2}}-2x+y-4$, ta được

$sqrt{5x-6}+sqrt{10-3x}=2{{x}^{2}}-x-2Leftrightarrow left( sqrt{5x-6}-2 right)+left( sqrt{10-3x}-2 right)=2{{x}^{2}}-x-6$

$Leftrightarrow dfrac{5left( x-2 right)}{sqrt{5x-6}+2}-dfrac{3left( x-2 right)}{sqrt{10-3x}+2}-left( x-2 right)left( 2x+3 right)=0$

$Leftrightarrow left( x-2 right)left( dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}-dfrac{3}{sqrt{10-3x}+2}-2x-3 right)=0$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 2\
dfrac{5}{{sqrt {5x – 6}  + 2}} – dfrac{3}{{sqrt {10 – 3x}  + 2}} – 2x – 3 = 0,,
end{array} right.$

+) Với $x=2Rightarrow y=4$ (thỏa mãn)

+) Vì $dfrac{6}{5}le xle dfrac{10}{3}Rightarrow sqrt{5x-6}+2ge 2Rightarrow dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}le dfrac{5}{2}Rightarrow dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}-3<0$

          $dfrac{6}{5}le xle dfrac{10}{3}Rightarrow -dfrac{3}{sqrt{10-3x}+2}-2x<0$

Do đó phương trình $dfrac{5}{sqrt{5x-6}+2}-dfrac{3}{sqrt{10-3x}+2}-2x-3=0,$ vô nghiệm

   0.75

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là $left{ left( 2;4 right);left( 3;dfrac{-13+sqrt{133}}{2} right) right}$

0.25

Câu III

(3.0đ)

Phần 1

(1.5 điểm)

Giả sử $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương thì $2018+{{n}^{2}}={{m}^{2}},,,left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$

Suy ra $2018={{m}^{2}},-{{n}^{2}},,Leftrightarrow 2018=left( m-n right)left( m+n right)$

0.5

Như vậy trong hai số $m-n$ và $m+n$ phải có ít nhất một số chẵn (1)

Mà $left( m-n right)+left( m+n right)=2m$ nên suy ra hai số $m-n$ và $m+n$ cùng tính chẵn lẻ (2)

0.5

Từ (1) và (2) suy ra  hai số $m-n$ và $m+n$ là hai số chẵn

$Rightarrow left( m-n right)left( m+n right)$ chia hết cho 4

Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều giả sử là sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $2018+{{n}^{2}}$ là số chính phương.

0.5

Phần 2

(1.5 điểm)

Có 10 đội bóng, mỗi đội thi đấu đúng 9 trận với 9 đội còn lại. Do đó số trận thua của mỗi đội từ đội thứ nhất đến đội thứ 10 lần lượt là :

${{y}_{1}}=9-{{x}_{1}},{{y}_{2}}=9-{{x}_{2}},…,{{y}_{10}}=9-{{x}_{10}}$.

0.5

Có tất cả số trận đấu là : $dfrac{10.9}{2}=45$ trận

Vì không có trận hòa nên tổng số các trận thắng của 10 đội là:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{10}}=9+8+…+2+1=45$

0.5

Ta có :

$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+…+y_{10}^{2}={{left( 9-{{x}_{1}} right)}^{2}}+{{left( 9-{{x}_{2}} right)}^{2}}+…+{{left( 9-{{x}_{10}} right)}^{2}}$

$Leftrightarrow y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+…+y_{10}^{2}={{10.9}^{2}}-18left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+…+{{x}_{10}} right)+left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+….+x_{10}^{2} right)$

$Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+…+x_{10}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+…+y_{10}^{2}$ ( đpcm)

0.5