Câu 30: Chọn C. .
$underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{x-2}{{{x}^{2}}-4}=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{x-2}{left( x-2 right)left( x+2 right)}=underset{xto 2}{mathop{lim }},frac{1}{x+2}=frac{1}{4}$.
Câu 31: Chọn D.
Ta có : $I=intlimits_{0}^{1}{frac{left( {{x}^{2}}+5x+6 right){{text{e}}^{x}}}{x+2+{{text{e}}^{-x}}}text{d}x}=intlimits_{0}^{1}{frac{left( x+2 right)left( x+3 right){{text{e}}^{2x}}}{left( x+2 right){{text{e}}^{x}}+1}text{d}x}$.
Đặt $t=left( x+2 right){{text{e}}^{x}}$$Rightarrow text{d}t=left( x+3 right){{text{e}}^{x}}text{d}x$.
Đổi cận : $x=0Rightarrow t=2$, $x=1Rightarrow t=3text{e}$.
$I=intlimits_{2}^{3text{e}}{frac{ttext{d}t}{t+1}}=intlimits_{2}^{3text{e}}{left( 1-frac{1}{t+1} right)text{d}t}=left. left( t-ln left| t+1 right| right) right|_{2}^{3text{e}}=3text{e}-2-ln frac{3text{e}+1}{3}$.
Vậy $a=3$, $b=2$, $c=1$$Rightarrow S=9$.
Câu 32: Chọn D.
$I=intlimits_{0}^{2018}{{{2}^{x}}text{d}x}=left. frac{{{2}^{x}}}{ln 2} right|_{0}^{2018}=frac{{{2}^{2018}}-1}{ln 2}$.
Câu 33: Chọn B.
Điều kiện: $-1le xle 1$.
Đặt $t={{3}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$. Ta có $xin left[ -1;1 right]$ nên $tin left[ 3;9 right]$ (do $0le sqrt{1-{{x}^{2}}}le 1$).
Phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-left( m+3 right)t+2m+1=0Leftrightarrow mleft( t-2 right)={{t}^{2}}-3t+1Leftrightarrow m=frac{{{t}^{2}}-3t+1}{t-2}$ (do $t-2ne 0,forall tin left[ 3;9 right]$) $left( 1 right)$.
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}-3t+1}{t-2}$, $tin left[ 3;9 right]$.
${f}’left( t right)=frac{{{t}^{2}}-4t+7}{{{left( t-2 right)}^{2}}}>0,forall tin left[ 3;9 right]$.
Vậy $fleft( 3 right)le fleft( t right)le fleft( 9 right)$ hay $1le fleft( t right)le frac{55}{7}$, $forall tin left[ 3;9 right]$ .
Phương trình đã cho có nghiệm $Leftrightarrow $ phương trình $left( 1 right)$ có nghiệm $tin left[ 3;9 right]$$Leftrightarrow 1le mle frac{55}{7}$.
Vậy $min left{ 1;2;3;4;5;6;7 right}$.
Câu 34: Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và $d$:
${{x}^{3}}-3x=kleft( x+1 right)+2$$ Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {{x^2} – x – 2 – k} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1 Rightarrow y = 2\
{x^2} – x – 2 – k = 0left( 1 right)
end{array} right.$.
$d$ cắt $left( C right)$ tại ba điểm phân biệt $Leftrightarrow $phương trình $left( 1 right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{Delta _{left( 1 right)}} > 0\
gleft( { – 1} right) ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
k > – frac{9}{4}\
k ne 0
end{array} right.$.
Khi đó, $d$ cắt $left( C right)$ tại $Mleft( -1;2 right)$, $Nleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right)$, $Pleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của $left( 1 right)$.
Theo định lý vietè: $left{ begin{array}{l}
S = {x_1} + {x_2} = 1\
P = {x_1}{x_2} = – k – 2
end{array} right.$.
Tiếp tuyến tại $N$ và $P$ vuông góc với nhau $Leftrightarrow {y}’left( {{x}_{1}} right).{y}’left( {{x}_{2}} right)=-1$$Leftrightarrow left( 3x_{1}^{2}-3 right)left( 3x_{2}^{2}-3 right)=-1$
$Leftrightarrow 9x_{1}^{2}x_{1}^{2}-9left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} right)+9=-1Leftrightarrow 9{{P}^{2}}+18P-9{{S}^{2}}+9=-1$
$Leftrightarrow 9{{k}^{2}}+18k+1=0Leftrightarrow k=frac{-3pm 2sqrt{3}}{3}$.
Vậy tích các phần tử trong $S$ là $frac{1}{9}$.
Câu 35: Chọn A.
Ta có ${B}’=3B$ nên thể tích khối chóp mới là $V=frac{1}{3}{B}’h=Bh$.
Câu 36: Chọn C.
Ta có $fleft( x right)=int{{f}’left( x right)dx=int{frac{2}{2x-1}dx=int{frac{2.frac{1}{2}dleft( 2x-1 right)}{2x-1}}}}=ln left| 2x-1 right|+c$.
$fleft( 0 right)=1$$Leftrightarrow ln left| 2times 0-1 right|+c=1$ $Leftrightarrow c=1$ $Leftrightarrow fleft( x right)=ln left| 2x-1 right|+1$.
$left{ begin{array}{l}
fleft( { – 1} right) = ln 3 + 1\
fleft( 3 right) = ln 5 + 1
end{array} right.$ $Leftrightarrow fleft( -1 right)+fleft( 3 right)=2+ln 15$.
Câu 37: Chọn A.
Gọi số cần lập là $overline{abcdefghi}$.
Không gian mẫu : Tập hợp số có $9$ chữ số đôi một khác nhau.
Vì $ane 0$ $Leftrightarrow $ có $9$ cách chọn $a$.
$overline{bcdefghi}$không có chữ số ở $a$ $Leftrightarrow $ có $9!$ cách chọn.
Vậy $nleft( Omega right)=9times 9!$.
Biến cố $A$: Số được chọn có đúng $4$ chữ số lẻ sao cho số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.
Số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số $0$ không thể đứng ở $a$ hoặc $i$.
$Leftrightarrow $ có $7$ cách sắp xếp chữ số $0$.
Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số $0$(có sắp xếp) có $A_{5}^{2}$ cách chọn.
Tiếp tục chọn hai số lẻ khác và sắp xếp vào$2$ trong $6$vị trí còn lại có $C_{3}^{2}times A_{6}^{2}=90$ cách chọn.
Còn lại $4$ vị trí, chọn từ $4$ số chẵn $left{ 2;4;6;8 right}$ có $4!=24$ cách chọn.
Vậy $nleft( A right)=7times A_{5}^{2}times 90times 24=302400$ cách chọn.
Xác suất để xảy ra biến cố $A$ là $pleft( A right)=frac{nleft( A right)}{nleft( Omega right)}=frac{302400}{9times 9!}=frac{5}{54}$.
Câu 38: Chọn A.
Ta có ${f}’left( x right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$. Hàm số $fleft( x right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ liên tục trên $mathbb{R}$ ; đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $left( 2;-2 right)$và $left( 0;2 right)$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
fleft( 2 right) = – 2\
f’left( 2 right) = 0\
fleft( 0 right) = 2\
f’left( 0 right) = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
8a + 4b + 2c + d = – 2\
12a + 4b + c = 0\
d = 2\
c = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = – 3\
c = 0\
d = 2
end{array} right. Rightarrow S = 0$
Câu 39: Chọn B.
Ta có $C_{n}^{3}=frac{n!}{3!left( n-3 right)!}=frac{left( n-3 right)!left( n-2 right)left( n-1 right)n}{left( n-3 right)!times 6}=frac{nleft( n-1 right)left( n-2 right)}{6}$$Rightarrow frac{1}{C_{n}^{3}}=frac{6}{nleft( n-1 right)left( n-2 right)}$
Vậy ta có ${{S}_{n}}=frac{6}{1.2.3}+frac{6}{2.3.4}+frac{6}{3.4.5}+…+frac{6}{nleft( n-1 right)left( n-2 right)}$
Nhận xét $frac{2}{1.2.3}=frac{1}{1.2}-frac{1}{2.3}$; $frac{2}{2.3.4}=frac{1}{2.3}-frac{1}{3.4}$ ;…; $frac{2}{left( n-2 right)left( n-1 right)n}=frac{1}{left( n-2 right)left( n-1 right)}-frac{1}{left( n-1 right)n}$
$Rightarrow {{S}_{n}}=3left( frac{1}{1.2}-frac{1}{2.3}+frac{1}{2.3}-frac{1}{3.4}+…+frac{1}{n-2}-frac{1}{n-1}+frac{1}{n-1}-frac{1}{n} right)$ $=3left( frac{1}{2}-frac{1}{n} right)$$=3left( frac{n-2}{2n} right)$$=frac{3n-6}{2n}$
Vậy $lim {{S}_{n}}=lim left( frac{3n-6}{2n} right)=lim left( frac{3-frac{6}{n}}{2} right)=frac{3}{2}$.
Câu 40: Chọn A.
Gọi $Ileft( a;b;c right)$
Ta có $IA=IO=R$$Leftrightarrow $ hình chiếu của $I$ lên $OA$ là trung điểm $Hleft( frac{1}{2};0;frac{-1}{2} right)$ của $OA$.
${{S}_{Delta OIA}}=frac{1}{2}IH.OA=frac{1}{2}sqrt{{{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{left( c+frac{1}{2} right)}^{2}}}.sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}+{{left( -1 right)}^{2}}}$
$Leftrightarrow frac{sqrt{17}}{2}=frac{1}{2}sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-a+c+frac{1}{2}}.sqrt{2}$ $Leftrightarrow 17=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2a+2c+1$
$Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2a+2c-16=0$.
Theo bài ra ta có $left{ begin{array}{l}
OI = IA\
{S_{Delta OIA}} = frac{{sqrt {17} }}{2}\
I in left( P right)
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = sqrt {{{left( {a – 1} right)}^2} + {b^2} + {{left( {c + 1} right)}^2}} \
2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} – 2a + 2c – 16 = 0\
a + b – c – 3 = 0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a – c – 1 = 0\
{a^2} + {b^2} + {c^2} – a + c – 8 = 0\
a + b – c – 3 = 0
end{array} right.$$begin{array}{l}
left( 1 right)\
left( 2 right)\
left( 3 right)
end{array}$.
Từ $left( 1 right)$ và $left( 3 right)$ ta có $left{ begin{array}{l}
a – c = 1\
b = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1 + c\
b = 2
end{array} right.$ thế vào $left( 2 right)$ ta có
${{left( c+1 right)}^{2}}+4+{{c}^{2}}-left( c+1 right)+c-8=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
c = – 2\
c = 1
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
Ileft( { – 1;2; – 2} right)\
Ileft( {2;2;1} right)
end{array} right.$ $Rightarrow OI=R=3$.
Câu 41: Chọn D.
Vì ${A}’$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oy$nên ${A}’left( 0;,-1;,0 right)$$Rightarrow O{A}’=1$.
Câu 42: Chọn D.
Ta có: ${y}’=3{{x}^{2}}-2mx-m$. Gọi $Mleft( {{x}_{0}};,{{y}_{0}} right)in left( C right)$ suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của $left( C right)$ tại $M$ có hệ số góc là $k={y}’left( {{x}_{0}} right)=3x_{0}^{2}-2m{{x}_{0}}-m$$=3{{left( {{x}_{0}}-frac{m}{3} right)}^{2}}-left( frac{{{m}^{2}}}{3}+m right)$$ge -left( frac{{{m}^{2}}+3m}{3} right)$.
Để mọi đường thẳng tiếp xúc với $left( C right)$ đều có hệ số góc dương thì :
$-left( frac{{{m}^{2}}+3m}{3} right)>0$$Leftrightarrow left( frac{{{m}^{2}}+3m}{3} right)<0$$Leftrightarrow -3<m<0$.
$Rightarrow $ Tập các giá trị nguyên của $m$là: $T=left{ -2;,-1 right}$. Vậy tổng các phần tử của $T$ là: $-3$.
Câu 43: Chọn C.
Ta có: $SAbot left( ABC right)Rightarrow SAbot BC$ mà $BCbot AB$$Rightarrow BCbot left( SAB right)$, $AMsubset left( SAB right)$$Rightarrow BCbot AM$.
Vậy $left{ begin{array}{l}
AM bot SB\
AM bot BC
end{array} right. Rightarrow AM bot left( {SBC} right)$$Rightarrow AMbot SC$$Rightarrow $ Đáp án A đúng.
Vì $left{ begin{array}{l}
AM bot left( {SBC} right)\
MN subset left( {SBC} right)
end{array} right. Rightarrow AM bot MN$ $Rightarrow $ Đáp án B đúng.
$SAbot left( ABC right)Rightarrow SAbot BC$$Rightarrow $ Đáp án D đúng.
Vậy C sai.
Câu 44: Chọn B.
Ta có: $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{sin x.{f}’left( x right)text{d}x}$. Đặt $left{ begin{array}{l}
u = sin x\
{rm{d}}v = f’left( x right){rm{d}}x
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{d}}u = cos x{rm{d}}x\
v = fleft( x right)
end{array} right.$.
$I=left. sin x.fleft( x right) right|_{0}^{frac{pi }{4}}-intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{cos x.fleft( x right)text{d}x}$$=frac{3sqrt{2}}{2}-{{I}_{1}}$.
$2=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left[ sin x.tan x.fleft( x right) right]text{d}x}$$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left[ {{sin }^{2}}x.frac{fleft( x right)}{cos x} right]text{d}x}$$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left[ left( 1-{{cos }^{2}}x right).frac{fleft( x right)}{cos x} right]text{d}x}$.
$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left[ frac{fleft( x right)}{cos x} right]text{d}x-intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{cos x.fleft( x right)text{d}x}}$$=1-{{I}_{1}}$.
$Rightarrow {{I}_{1}}=-1$$Rightarrow I=frac{3sqrt{2}}{2}+1$$=frac{3sqrt{2}+2}{2}$.
Câu 45: Chọn B.
$2{{y}^{3}}+7y+2xsqrt{1-x}=3sqrt{1-x}+3left( 2{{y}^{2}}+1 right)$.
$Leftrightarrow 2left( {{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 right)+left( y-1 right)=2left( 1-x right)sqrt{1-x}+3sqrt{1-x}-2sqrt{1-x}$.
$Leftrightarrow 2{{left( y-1 right)}^{3}}+left( y-1 right)=2{{left( sqrt{1-x} right)}^{3}}+sqrt{1-x},,left( 1 right)$.
Xét hàm số $fleft( t right)=2{{t}^{3}}+t$ trên $left[ 0;,+infty right)$.
Ta có: ${f}’left( t right)=6{{t}^{2}}+1$$>0$ với $forall tge 0$$Rightarrow fleft( t right)$ luôn đồng biến trên $left[ 0;,+infty right)$.
Vậy $left( 1 right)Leftrightarrow y-1=sqrt{1-x}$$Leftrightarrow y=1+sqrt{1-x}$.
$Rightarrow P=x+2y=x+2+2sqrt{1-x}$ với $left( xle 1 right)$.
Xét hàm số $gleft( x right)=2+x+2sqrt{1-x}$ trên $left( -infty ;,1 right]$.
Ta có: ${g}’left( x right)=1-frac{1}{sqrt{1-x}}$$=frac{sqrt{1-x}-1}{sqrt{1-x}}$. ${g}’left( x right)=0Rightarrow x=0$.
Bảng biến thiên $gleft( x right)$
|
|
Từ bảng biến thiên của hàm số $gleft( x right)$ suy ra giá trị lớn nhất của $P$ là: $underset{left( -infty ;,1 right]}{mathop{max }},gleft( x right)=4$.
Câu 46: Chọn B.
Gọi $I=ACcap BD$.
Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $asqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$.
Ta có [left{ begin{array}{l}
left( {SBD} right) cap left( {ABCD} right) = BD\
SI bot BD\
AI bot BD
end{array} right. Rightarrow widehat {left( {left( {SBD} right);,left( {ABCD} right)} right)} = widehat {left( {SI;,AI} right)} = widehat {SIA}].
Ta có $tan alpha =tan widehat{SIA}=frac{SA}{AI}Leftrightarrow SA=a$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có
$Aleft( 0;,0;,0 right)$, $Bleft( a;,0;,0 right)$, $Cleft( a;,a;,0 right)$, $Sleft( 0;,0;,a right)$.
Khi đó $overrightarrow{SA}=left( 0;,0;,-a right)$; $overrightarrow{SC}=left( a;,a;,-a right)$; $overrightarrow{SB}=left( a;,0;,-a right)$.
Mặt phẳng $left( SAC right)$ có vectơ pháp tuyến ${{vec{n}}_{1}}=left( -1;,1;,0 right)$.
Mặt phẳng $left( SBC right)$ có vectơ pháp tuyến ${{vec{n}}_{2}}=left( 1;,0;,1 right)$.
Suy ra $cos left( widehat{left( SAC right);left( SBC right)} right)=frac{left| {{{vec{n}}}_{1}}.{{{vec{n}}}_{2}} right|}{left| {{{vec{n}}}_{1}} right|.left| {{{vec{n}}}_{2}} right|}$$=frac{1}{sqrt{2}.sqrt{2}}=frac{1}{2}$$Rightarrow left( widehat{left( SAC right);left( SBC right)} right)=60{}^circ $.
Câu 47: Chọn B.
Ta có
${g}’left( x right)=2{f}’left( x right)-2left( 1-x right)$.
${g}’left( x right)=0$$Leftrightarrow 2{f}’left( x right)-2left( 1-x right)=0$$Leftrightarrow {f}’left( x right)=1-x$.
Dựa vào hình vẽ ta có: $g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 4\
x = – 1\
x = 3
end{array} right.$.
Và ta có bảng biến thiên
Suy ra hàm số $gleft( x right)=2fleft( x right)+{{left( 1-x right)}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.
Câu 48: Chọn C.
Ta có $underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{sqrt{3x+1}-2}{x-1}$$=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{3x+1-{{2}^{2}}}{left( x-1 right)left( sqrt{3x+1}+2 right)}$$=underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{3}{sqrt{3x+1}+2}=frac{3}{4}$.
Với $fleft( 1 right)=m$ ta suy ra hàm số liện tục tại $x=1$ khi $m=frac{3}{4}$.
Câu 49: Chọn D.
Mặt phẳng $left( P right):2x+y-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec{n}=left( 2;,1;,0 right)$.
Câu 50: Chọn B.
Parabol $y={{x}^{2}}-4x+4$ có đỉnh $Ileft( 2;0 right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y={{x}^{2}}-4x+4$ và $y={{x}^{3}}$ là ${{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x-4=0Leftrightarrow x=1$.
Ta có $S=intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}text{d}x}+intlimits_{1}^{2}{left( {{x}^{2}}-4x+4 right)text{d}x}$$=frac{7}{12}$.
