Câu 31. Chọn D
Gọi $t$ (ngày) là số chu kì bán rã. Khi đó ta có phương trình:
$20.{{left( frac{1}{2} right)}^{t}}=2,{{22.10}^{-15}}Rightarrow tapprox 53$.
Thời gian phân rã gần bằng: $53.138:365approx 20$(năm).
Câu 32. Chọn D
Theo tính chất tổ hợp SGK: $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.
Câu 33. Chọn B
Ta có: $log _{3}^{2}x-left( m+2 right){{log }_{3}}x+3m-1=0,,left( 1 right)$
Đặt $t={{log }_{3}}xRightarrow {{t}^{2}}-left( m+2 right)t+3m-1=0,text{ }left( 2 right)$
Để phương trình $left( 1 right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ thỏa mãn: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=27$ thì phương trình $left( 2 right)$ có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}$,${{t}_{2}}$thỏa mãn: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{log }_{3}}{{x}_{1}}+{{log }_{3}}{{x}_{2}}={{log }_{3}}left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} right)={{log }_{3}}27=3$
$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
{Delta _{left( 2 right)}} > 0\
{t_1} + {t_2} = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {m + 2} right)^2} – 4left( {3m – 1} right) > 0\
{t_1} + {t_2} = – frac{b}{a} = frac{{m + 2}}{1} = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 8m + 8 > 0\
m = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 4 + 2sqrt 2 \
m < 4 – 2sqrt 2
end{array} right.\
m = 1
end{array} right. Rightarrow m = 1$
Khi đó $left( 2 right) Rightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0 Rightarrow left{ begin{array}{l}
{t_1} = 1 = {log _3}{x_1}\
{t_2} = 2 = {log _3}{x_2}
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = {3^{{t_1}}} = 3\
{x_2} = {3^{{t_2}}} = 9
end{array} right. Rightarrow {x_1} + {x_2} = 12$
Câu 34. Chọn D
Ta có $fleft( x right)=int{{f}’left( x right)text{d}x=int{left( x.{{text{e}}^{x}}+1 right)text{d}x=}}int{x.{{text{e}}^{x}}text{d}x+int{text{d}x={{I}_{1}}+x+C}}$với ${{I}_{1}}=int{x.{{text{e}}^{x}}text{d}x}$.
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
{rm{d}}v = {{rm{e}}^x}{rm{d}}x
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{d}}u = {rm{d}}x\
v = {{rm{e}}^x}
end{array} right. Rightarrow {I_1} = x{{rm{e}}^x} – int {{{rm{e}}^x}{rm{d}}x} = x{{rm{e}}^x} – {{rm{e}}^x} + C$
$fleft( 0 right)=1Rightarrow C=2Rightarrow fleft( x right)=x{{text{e}}^{x}}-{{text{e}}^{x}}+x+2Rightarrow fleft( 1 right)=3$.
Câu 35. Chọn A
Từ $Sleft( t right)={{t}^{4}}-3{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2t+1,$$Rightarrow vleft( t right)=left( Sleft( t right) right)’=4{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}-6t+2$.
$aleft( t right)=left( vleft( t right) right)’=12{{t}^{2}}-18t-6$.
Suy ra gia tốc của vật tại thời điểm $t=3s$ là $aleft( 3 right)={{12.3}^{2}}-18.3-6=48$.
Câu 36. Chọn C
Theo đề ta có $h=4a,r=frac{a}{2}$. Suy ra thể tích khối trụ: $V=pi {{r}^{2}}h=pi .{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}.4a=pi {{a}^{3}}$
Câu 37. Chọn A
Ta có: $overrightarrow{AC}=left( 1;,0;,1 right)$, $overrightarrow{AD}=left( 2;,0;,2 right)$
Mà $overrightarrow{AC}wedge overrightarrow{AD}=overrightarrow{0}$, nên hai vecto $overrightarrow{AC}$, $overrightarrow{AD}$ cùng phương, hay ba điểm $A,C,D$ thẳng hàng.
Nhận xét: Có thể vẽ phát họa lên hệ tọa độ $Oxyz$ để nhìn nhận dễ dàng hơn.
Câu 38. Chọn B
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SHbot left( ABCD right)$
Gọi $M$ là trung điểm $DC$ suy ra $DCbot left( SHM right)$
Kẻ $HIbot SM$ suy ra $HIbot left( SCD right)$ (do $HIbot SM$, $HIbot DC$)
Mặt khác:$AB//left( SCD right)$, $SDsubset left( SCD right)$
Khi đó: $dleft( AB,,SD right)=dleft( AB,left( SCD right) right)=dleft( H,,left( SCD right) right)=HI=frac{2asqrt{21}}{7}$
Gọi $AB=x,left( x>0 right)$suy ra $HM=x$, $SH=frac{xsqrt{3}}{2}$, $SM=frac{xsqrt{7}}{2}$
Xét $Delta SHM$ vuông tại $H$, $HI$ là đường cao trong $Delta SHM$
$HI=frac{SH.HM}{SM}=frac{2asqrt{21}}{7}$$Leftrightarrow frac{frac{xsqrt{3}}{2}.x}{frac{xsqrt{7}}{2}}=frac{2asqrt{21}}{7}Leftrightarrow x=2a$
Nên ${AB=2a}$, ${SH=asqrt{3}}$ suy ra ${{{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{4{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}}$.
Câu 39. Chọn D
Ta có : ${{V}_{OABC}}=frac{abc}{6}$ , ${{S}_{tp}}=frac{1}{2}left( ab+bc+ac+sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}} right)$.
Gọi T là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC, ta có: ${{V}_{OABC}}={{V}_{TOAB}}+{{V}_{TOAC}}+{{V}_{TOBC}}+{{V}_{TABC}}=frac{1}{3}r({{S}_{OAB}}+{{S}_{OAC}}+{{S}_{OBC}}+{{S}_{ABC}})=frac{1}{3}r.{{S}_{tp}}$ ($r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$)
$Rightarrow r=frac{3{{V}_{OABC}}}{{{S}_{tp}}}=frac{abc}{ab+bc+ac+sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}}}$
$Rightarrow frac{a}{r}=frac{ab+bc+ac+sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}}}{bc}=frac{a}{c}+1+frac{a}{b}+sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}+1+frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}}$
$ge 1+1+1+sqrt{1+1+1}=3+sqrt{3}$.
Vậy ${{left( frac{a}{r} right)}_{min }}=3+sqrt{3}Leftrightarrow a=b=c$.
Câu 40. Chọn A
Ta có: $int{frac{1}{{{x}^{2}}-1}}text{d}x=int{frac{1}{left( x-1 right)left( x+1 right)}}text{d}x=frac{1}{2}int{left( frac{1}{x-1}-frac{1}{x+1} right)text{d}x}=frac{1}{2}ln left| x-1 right|-frac{1}{2}ln left| x+1 right|+C$.
$Rightarrow a=frac{1}{2}$; $b=frac{-1}{2}$$Rightarrow a-b=1$.
Câu 41. Chọn C
Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{CD bot AD}\
{CD bot SA}
end{array}} right. Rightarrow CD bot left( {SAD} right) Rightarrow CD bot SD$
Do $left{ begin{array}{l}
CD = left( {SCD} right) cap left( {ABCD} right)\
AD subset left( {ABCD} right),,AD bot CD\
SD subset left( {SCD} right),,SD bot CD
end{array} right. Rightarrow left[ {widehat {left( {SCD} right),left( {ABCD} right)}} right] = left[ {widehat {SD,AD}} right] = 60^circ $
$Rightarrow SA=ADtan 60{}^circ =ADsqrt{3}.$
Mà $SA=frac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{A{{D}^{2}}}Leftrightarrow ADsqrt{3}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{A{{D}^{2}}}Leftrightarrow AD=a$
$Rightarrow SA=asqrt{3}.$
Trong tam giác vuông $SAD$ có $SD=sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$.
$Rightarrow {{S}_{Delta SCD}}=frac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}$.
Mặt khác ${{V}_{M.SCD}}=frac{1}{3}SA.{{S}_{Delta MCD}}=frac{1}{3}.asqrt{3}.frac{1}{2}.frac{a}{2}.a=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$
$Rightarrow dleft[ M,left( SCD right) right]=frac{3{{V}_{M.SCD}}}{{{S}_{Delta SCD}}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}.frac{1}{{{a}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{4}$.
Câu 42. Chọn D
Gọi A là biến cố “ Xếp 7 người sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông”
Ta có: $n(Omega )=6!$
Xếp thỏa mãn đề bài theo các bước sau:
+Cố định đứa trẻ vào 1 ghế.
+Vì đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn ông nên xếp 2 người đàn ông ngồi bên cạnh đứa trẻ
có:$A_{4}^{2}$ (cách)
+Xếp 2 người đàn ông còn lại và 2 người đàn bà vào 4 ghế còn lại có:$4!$ (cách)
$Rightarrow n(A)=A_{4}^{2}.4!=288$
Vậy: $P(A)=frac{n(A)}{n(Omega )}=frac{288}{6!}=frac{2}{5}$.
Câu 43. Chọn C
Đồ thị của hàm số được vẽ theo 2 bước:
+ Tịnh tiến đồ thị của hàm số $y=fleft( x right)$ qua bên phải 1 đơn vị.
+ Giữ nguyên phần bên phải, lấy đối xứng phần bên phải qua trục $Oy.$
Từ đồ thị ta thấy: phương trình $f(left| x right|-1)=m$ có 4 nghiệm phân biệt khi$-3<m<1.$
Vậy có 3 giá trị nguyên $min left{ -2;-1;0 right}$
Câu 44. Chọn D
Gọi ${{V}_{left( H right)}},{{V}_{left( DH right)}},{{V}_{left( CL right)}}$ lần lượt là thể tích của hộp đứng, đồng hồ cát và phần còn lại.
Cho cạnh đáy hộp bằng 6, chiều cao hộp bằng 8. Đồng hồ cát tạo bởi 2 nón bằng nhau và chiều cao nón bằng 4 (cao hộp chia 2); bán kính đáy nón bằng 3 (đáy hộp chia 2).
Ta có: ${{V}_{left( H right)}}={{8.6}^{2}}=288$; ${{V}_{left( DH right)}}=2.frac{1}{3}.4.pi {{.3}^{2}}=24pi $; ${{V}_{left( CL right)}}={{V}_{left( H right)}}-{{V}_{left( DH right)}}=288-24pi $.
Theo đề thì đáp án bằng $frac{{{V}_{left( DH right)}}}{{{V}_{left( CL right)}}}=frac{24pi }{288-24pi }=frac{pi }{12-pi }$.
Câu 45.Chọn C
Xét hàm số $y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ có
+) $y’ = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\
{x = 3}
end{array}} right.$
+) Xét $y = 1 Leftrightarrow frac{{ – 1}}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x + 1 = 1 Leftrightarrow – {x^3} + 6x – 9x = 0 Leftrightarrow {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\
{x = 3}
end{array}} right.^{}}$
+) Xét $y = frac{{ – 1}}{3} Leftrightarrow frac{{ – 1}}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x + 1 = frac{{ – 1}}{3} Leftrightarrow – {x^3} + 6x – 9x + 4 = 0 Leftrightarrow {left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\
{x = 4}
end{array}} right.^{}}$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=-frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x+1$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $fleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = a in left( {0{kern 1pt} {kern 1pt} ;{kern 1pt} {kern 1pt} 1} right)}\
{x = b in left( {1{kern 1pt} ;{kern 1pt} {kern 1pt} 3} right)}\
{x = c in left( {3;{kern 1pt} {kern 1pt} 4} right)}
end{array}} right.$
Khi đó $fleft( {fleft( x right)} right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{fleft( x right) = a in left( {0;1} right)}\
{fleft( x right) = b in left( {1;3} right)}\
{fleft( x right) = c in left( {3;4} right)}
end{array}} right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
+) Phương trình $fleft( x right)=aleft( 1 right)$ có 3 nghiệm phân biệt .
+) Phương trình $fleft( x right)=bleft( 2 right)$ có 1 nghiệm khác nghiệm của phương trình $left( 1 right)$.
+) Phương trình $fleft( x right)=c$ có 1 nghiệm khác nghiệm của phương trình $left( 1 right)$ và $left( 2 right)$.
Vậy phương trình $fleft( fleft( x right) right)=0$ có 5 nghiệm phân biệt.
Câu 46. Chọn D
Mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc như nhau là $90.000.000div 36=2.500.000$ đồng.
Tháng đầu tiên, người đó phải trả số tiền lãi là $90.000.000times 0.8%=36times 2.500.000times 0.8%$.
Tháng thứ hai, người đó phải trả số tiền lãi là $87.500.000times 0.8%=35times 2.500.000times 0.8%$.
Tháng cuối cùng, người đó phải trả số tiền lãi là $2.500.000times 0.8%=1times 2.500.000times 0.8%$.
Vậy tổng số tiền lãi người đó phải trả là $left( 1+2+…+36 right)times 2.500.000times 0.8%=13.320.000$ đồng.
Vậy tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình trả nợ là $90.000.000+13.320.000=103.320.000$ đồng.
Câu 47. Chọn A
Gọi $H$ là trung điểm của $ACRightarrow SHbot left( ABC right)$
Gọi $I$ là trung điểm của $ABRightarrow HI=frac{BC}{2}=frac{asqrt{6}}{6}$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $aRightarrow SI=frac{asqrt{3}}{2}$
$SH=sqrt{S{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=frac{asqrt{21}}{6}$
$AC=2AH=2sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=frac{asqrt{15}}{3}$
Gọi ${{r}_{b}},{{r}_{d}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $SAC,,ABC$
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
${{S}_{Delta SAC}}=frac{1}{2}SH.AC=frac{{{a}^{2}}sqrt{35}}{12}Rightarrow {{r}_{b}}=frac{SA.SC.AC}{4{{S}_{Delta SAC}}}=frac{asqrt{21}}{7}$
Theo công thức Hê-rông: ${{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{6}}{6}Rightarrow {{r}_{d}}=frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{Delta ABC}}}=frac{asqrt{15}}{6}$
$R=sqrt{{{r}_{b}}^{2}+{{r}_{d}}^{2}-frac{A{{C}^{2}}}{4}}=frac{asqrt{21}}{7}$ Vậy: ${{S}_{mc}}=4pi {{left( frac{asqrt{21}}{7} right)}^{2}}=frac{12pi {{a}^{2}}}{7}$
Câu 48. Chọn A
Do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ nên từ ${{log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}left( a+b right)ge 1text{ }Rightarrow text{ }a+bge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$.
Suy ra: $left{ begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} > 1\
{left( {a – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {b – frac{1}{2}} right)^2} le {rm{ }}frac{1}{2}
end{array} right.$
Khi đó: $P=2a+4b-3=2left( a-frac{1}{2} right)+4left( b-frac{1}{2} right)le sqrt{left( {{2}^{2}}+{{4}^{2}} right).left[ {{left( a-frac{1}{2} right)}^{2}}+{{left( b-frac{1}{2} right)}^{2}} right]text{ }}le sqrt{20.left( frac{1}{2} right)}=sqrt{10}$
(Áp dụng BĐT Bu-nhi-a- Cốp -xki)
Đẳng thức xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
frac{{a – frac{1}{2}}}{2} = frac{{b – frac{1}{2}}}{4} > 0\
{left( {a – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {b – frac{1}{2}} right)^2} = {rm{ }}frac{1}{2}\
\
{a^2} + {b^2} > 1
end{array} right.{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}left{ begin{array}{l}
a = frac{1}{2} + frac{1}{{sqrt {10} }}\
b = frac{1}{2} + frac{2}{{sqrt {10} }}
end{array} right.$
Vậy ${{{P}_{text{max}}}=sqrt{10}}$ khi $left{ begin{array}{l}
a = frac{1}{2} + frac{1}{{sqrt {10} }}\
b = frac{1}{2} + frac{2}{{sqrt {10} }}
end{array} right.$
Câu 49. Chọn B
Từ giả thiết: ${f}’left( x right)+2x.fleft( x right)={{text{e}}^{x}}fleft( x right)$, ta có
${f}’left( x right)=fleft( x right)left( {{text{e}}^{x}}-2x right)$
$Rightarrow frac{{f}’left( x right)}{fleft( x right)}={{text{e}}^{x}}-2x$ ( vì $fleft( x right)ne 0,,,forall x$ )
$Rightarrow int{frac{{f}’left( x right)}{fleft( x right)}text{d}x=int{left( {{text{e}}^{x}}-2x right)text{d}x}}$
$Rightarrow ln left| fleft( x right) right|={{text{e}}^{x}}-{{x}^{2}}+C$.
Mà $fleft( 0 right)=1$ nên $C=-1$.
Khi đó, ta được: $ln left| fleft( x right) right|={{text{e}}^{x}}-{{x}^{2}}-1$.
Thế $x=1$, ta có: $ln left| fleft( 1 right) right|=text{e}-2$$Rightarrow left| fleft( 1 right) right|={{text{e}}^{text{e}-2}}$.
Câu 50. Chọn A
+) Nếu $mge 0$ ta thấy $underset{xto pm infty }{mathop{lim }},left( frac{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1} right)=pm sqrt{m}Rightarrow y=pm sqrt{m}$ là tiệm cận ngang.
$underset{xto -{{1}^{pm }}}{mathop{lim }},left( frac{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1} right)=pm infty Rightarrow x=-1$là tiệm cận đứng.
Vậy $mge 0$ không thỏa mãn đề bài.
+) Nếu $m<0$ ta có hàm số xác định trên $D=left[ frac{-1}{sqrt{-m}};frac{1}{sqrt{-m}} right]$ không phải là một khoảng vô cùng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng $x=-1$ khi $underset{xto -{{1}^{pm }}}{mathop{lim }},left( frac{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x+1} right)=pm infty $.
Khi đó $m$ phải thỏa mãn hệ $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{{ – 1}}{{sqrt { – m} }} le – 1 le frac{1}{{sqrt { – m} }}}\
{m < 0}
end{array}} right. Leftrightarrow – 1 le m < 0$
