Lời giải đề 5: Đề thi thử THPTQG môn Toán năm 2018 trường THPT chuyên ĐH Vinh – Nghệ An lần 2 trang 1

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án D

Phương pháp:

Áp dụng các công thức của hàm số lũy thừa sau: ${{left$a^{m}right$}^{n}}={{a}^{m.n}};left$sqrt{a}^{m}right$={{a}^{frac{m}{2}}};{{left$sqrtaright$}^{m}}=sqrt{{{a}^{m}}}$

Cách giải:

Áp dụng các công thức lũy thừa ta thấy chỉ có đáp án D sai: $left${10}^{alpha}right$={{10}^{alpha .2}}={{10}^{2alpha }}={{100}^{alpha }}$

Câu 2: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính giới hạn của hàm số.

Cách giải:

Ta có: $underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{x+1}{{{left$x+2right$}^{2}}}=underset{xto -2}{mathop{lim }},frac{-2+1}{{{left$-2+2right$}^{2}}}=-infty $

Câu 3: Đáp án C

Phương pháp:

Thể  tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=fleft$xright$,y=gleft$xright$,x=a,x=b$khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: $V=pi intlimits_{a}^{b}{left| {{f}^{2}}left$xright$-{{g}^{2}}left$xright$ right|dx}$

Cách giải:

Áp dụng công thức ta có thể tích hình phẳng bài cho là: $V=pi intlimits_{0}^{1}{{{left$x{e}^{x}right$}^{2}}dx=pi intlimits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx}}$

Câu 4: Đáp án C

Phương pháp:

Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b là góc giữa đường thẳng a’ và  b với a // a’.

Cách giải:

Ta có: $AC//A’C’Rightarrow left$AC,A^{\prime }Dright$=left$A^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }Dright$$

Ta có $Delta DA’C’$là tam giác đều $Rightarrow DA’C={{60}^{0}}$

$Rightarrow left$AC,A^{\prime }Dright$={{60}^{0}}$

Câu 5: Đáp án C

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản.

Cách giải:

Vì có 10 ghế nên bạn thứ nhất có 10 cách xếp.

Bạn thứ hai có 9 cách xếp.

Bạn thứ ba có 8 cách xếp.

Bạn thứ tư có 7 cách xếp.

Bạn thứ năm có 6 cách xếp.

Bạn thứ sáu có 5 cách xếp.

Như vậy có: $10.9.8.7.6.5=A_{10}^{6}$cách xếp

Câu 6: Đáp án B

Phương pháp:

Dựa vào hình dáng của đồ thị và các đường tiệm cận để suy ra hàm số cần tìm.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: $x=1Rightarrow $loại đáp án A và C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $left$0;2right$Rightarrow $loại đáp án D.

Câu 7: Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số nghịch biến $Leftrightarrow y'<0$ hoặc $y’=0$ tại một số hữu hạn điểm.

Cách giải:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $left$-1;0right$$và $left$0;1right$$

Câu 8: Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $Oxy$. Khi đó tọa độ  điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d và mặt phẳng $Oxy$.

+) Phương trình mặt phẳng $left$O,xyright$:z=0$

Cách giải:

Gọi $Mleft$x_0;y_0;z_{0}right$$ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $left$O,xyright$Rightarrow {{z}_{0}}=0$

$M in d Rightarrow frac{{{x_0} – 3}}{1} = frac{{{y_0} + 2}}{{ – 1}} = frac{4}{2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_0} = 1\
{y_0} = 0
end{array} right. Rightarrow Mleft$1;0;0right$$ 

Câu 9: Đáp án D

Phương pháp:

Đường thẳng $y=a$và là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=fleft$xright$Leftrightarrow underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft$xright$=a$

Cách giải:

Ta có:

$+),underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{{{x}^{2}}-x+1}{x}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{1-frac{1}{x}+frac{1}{{{x}^{2}}}}{frac{1}{x}}=infty Rightarrow $đồ thị hàm số $y=frac{{{x}^{2}}-x+1}{x}$không có tiệm cận ngang.

$+),underset{xto infty }{mathop{lim }},left$x^2-x+1right$=infty Rightarrow $đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}+x+1$ không có tiệm cận ngang.

$+),underset{xto infty }{mathop{lim }},left$x+sqrt{x}^2+1right$=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{1}{left| x right|}left$1+sqrt1+frac1xright$Rightarrow $đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$

Câu 10: Đáp án A

Phương pháp:

Ta có: ${a^{fleft$xright$}} < a Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
a > 1\
fleft$xright$ < 1
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
0 < a < 1\
fleft$xright$ > 1
end{array} right.
end{array} right.$ 

Cách giải:

Ta có: ${2^{sqrt x }} < 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 0\
sqrt x  < 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge 0\
x < 1
end{array} right. Leftrightarrow 0 le x le 1$ 

Câu 11: Đáp án A

Phương pháp:

Điểm $Mleft$x_0;y_0;z_{0}right$$ thuộc mặt phẳng $left$alpharight$:a,x+by+cz+d=0Leftrightarrow a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c{{z}_{0}}+d=0$

Cách giải:

Thay tọa độ điểm M vào các phương trình của các mặt phẳng ta thấy tọa độ điểm M chỉ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $R$

Câu 12: Đáp án B

Phương pháp:

Hai vectơ $overrightarrow a left$x_1;y_1;z_{1}right$ = overrightarrow b left$x_2;y_2;z_{2}right$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\
{y_1} = {y_2}\
{z_1} = {z_2}
end{array} right.$ 

Cách giải:

Gọi điểm $Bleft$x_0;y_0;z_{0}right$$là điểm cần tìm. Khi đó: $overrightarrow{AB}=left$x_0-4;y_0-6;z_0+3right$$

$overrightarrow {AB}  = overrightarrow a  Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_0} – 4 =  – 3\
{y_0} – 6 = 2\
{z_0} + 3 = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x_0} = 1\
{y_0} = 8\
{z_0} =  – 2
end{array} right. Rightarrow Bleft$1;8;–2right$$ 

Câu 13: Đáp án A

Phương pháp:

Cho điểm $Mleft$a;bright$$biểu diễn số phức $zRightarrow z=a+biRightarrow overline{z}=a-bi$

Cách giải:

Ta có $Mleft$2;1right$$biểu diễn số phức $zRightarrow z=2+iRightarrow overline{z}=2-i$

Câu 14: Đáp án A

Phương pháp:

Điểm $Mleft$x_0;y_{0}right$$là điểm cực trị của hàm số$y=fleft$xright$Leftrightarrow {{x}_{0}}$là nghiệm của phương trình

$y’=0$ và tại đó y’ đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 15: Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số: $int{frac{1}{a,x+b}dx}=frac{1}{a}ln left| a,x+b right|+C$

Cách giải:

Ta có: $int{frac{1}{2x+3}dx}=frac{1}{2}ln left| 2x+3 right|+C$

Câu 16: Đáp án B

Phương pháp:

Gọi O là trong tâm tam giác ABC. Khi đó O là hình chiếu của S trên $ABC$ hay SO là khoảng cách từ  S đến mặt phẳng $ABC$.

Cách giải:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó: $SObot left$ABCright$$ $Rightarrow dleft$S;left(ABCright$ right)=SO$

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3a nên $BO=frac{2}{3}BM=frac{2}{3}BM.frac{3asqrt{3}}{2}=asqrt{3}$

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác SOB vuông tại O ta có:

$SO=sqrt{S{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=aRightarrow dleft$S;left(ABCright$ right)=SO=a$

Câu 17: Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản của hàm số.

Cách giải: Ta có: $intlimits_{0}^{1}{xleft$x^2+3right$dx=intlimits_{0}^{1}{left$x^3+3xright$}dx=left. left$frac{x}^{4}4+frac3x^{2}2right$ right|}_{0}^{1}=frac{1}{4}+frac{3}{2}=frac{7}{4}$

Câu 18: Đáp án B

Phương pháp:

+) Điểm A thuộc $OzRightarrow Aleft$0;0;0right$$

+) Điểm B là giao điểm của đường thẳng d và $P$ thì tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình của d và $P$.

+) Phương trình mặt cầu tâm $Ileft$a;b;cright$$và bán kính R có phương trình là: ${{left$x-aright$}^{2}}+{{left$y-bright$}^{2}}+{{left$z-cright$}^{2}}={{R}^{2}}$

Cách giải:

Phương trình trục $Oz:left{ begin{array}{l}
x = 0\
y = 0\
z = t
end{array} right..,,A in Oz Rightarrow Aleft$0;0;tright$$ 

Có $left$Pright$cap Oz=left{ A right}Rightarrow 2.0+6.0+t-3=0Leftrightarrow t=3Rightarrow Aleft$0;0;3right$$

$d:left{ begin{array}{l}
x = 5 + t’\
y = 2t’\
z = 6 – t’
end{array} right..B in d Rightarrow Bleft$5+t^{\prime };2t^{\prime };6–t^{\prime }right$$ 

Có $left$Pright$cap d=left{ B right}Rightarrow 2left$5+t^{\prime }right$+6.2t’+6-t’-3=0Leftrightarrow t’=-1Rightarrow Bleft$4;-2;7right$$

Gọi I là trung điểm của $ABRightarrow Ileft$2;-1;5right$$

Có $overrightarrow{AB}=left$4;-2;4right$Rightarrow AB=sqrt{36}=6Rightarrow IA=R=frac{AB}{2}=3$

Vậy đường tròn đường kính AB là: ${{left$x-2right$}^{2}}+{{left$y+1right$}^{2}}+{{left$z-5right$}^{2}}=9$

Câu 19: Đáp án C

Phương pháp:

Cách 1: Giải các phương trình bậc hai ẩn z ở các đáp án, đáp án nào có nghiệm $z=1+2i$thì chọn đáp án đó.

Cách 2: Thay nghiệm $z=1+2i$vào các phương trình ở các đáp án. Đáp án nào thỏa mãn thì chọn đáp án đó.

Cách giải:

+) Xét phương trình: ${{z}^{2}}-2z+3=0Leftrightarrow {{z}^{2}}-2z+1+2=0Leftrightarrow {{left$z-1right$}^{2}}=-2Leftrightarrow {{left$z-1right$}^{2}}=2{{i}^{2}}$

$ Leftrightarrow left| {z – 1} right| = sqrt 2 i Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z – 1 = sqrt 2 i\
z – 1 =  – sqrt 2 i
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z = 1 + sqrt 2 i\
z = 1 – sqrt 2 i
end{array} right. Rightarrow $ loại đáp án A.

+) Xét phương trình: ${{z}^{2}}+2z+5=0Leftrightarrow {{z}^{2}}+2z+4+1=0Leftrightarrow {{left$z+2right$}^{2}}=-1={{i}^{2}}$

$ Leftrightarrow left| {z + 2} right| = i Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z + 2 = i\
z + 2 =  – i
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z =  – 2 + i\
z =  – 2 – i
end{array} right. Rightarrow $ loại đáp án B.

+) Xét phương trình: ${{z}^{2}}-2z+5=0Leftrightarrow {{z}^{2}}-2z+1+4=0Leftrightarrow {{left$z-1right$}^{2}}=-4=-4{{i}^{2}}$

$Leftrightarrow left| {z – 1} right| = 2i Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z – 1 = 2i\
z – 1 =  – 2i
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z = 1 + 2i\
z = 1 – 2i
end{array} right. Rightarrow $ chọn đáp án C

Câu 20: Đáp án A

Phương pháp:

+) Thiết diện qua trục của hình nón luôn là tam giác cân tại đỉnh của hình nón.

+) Diện tích xung quanh của hình nón bán kính Rvà đường sinh l là: $S=pi Rl$

Cách giải:

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là tam giác ABC có $BAC={{60}^{0}}$

$Rightarrow Delta ABC$là tam giác đều.

Gọi O là trung điểm của $BCRightarrow O$ là tâm của đường tròn đáy.

$begin{array}{l}
 Rightarrow BC = 2.OA = 2R = 2a\
 Rightarrow l = AB = AC = BC = 2a\
 Rightarrow {S_{xq}} = pi Rl = pi .a.2a = 2pi {a^2}
end{array}$

Câu 21: Đáp án C

Phương pháp:

+) Ta có: $Fleft$xright$$là nguyên hàm của hàm $fleft$xright$Rightarrow F’left$xright$=fleft$xright$Rightarrow $tìm giá trị của $aRightarrow gleft$xright$$

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của $gleft$xright$$

Cách giải:

Ta có: $Fleft$xright$$là nguyên hàm của hàm $fleft$xright$Rightarrow F’left$xright$=fleft$xright$$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow left$frac13x^3+2x–frac1xright$ = frac{{{{left$x^2+aright$}^2}}}{{{x^2}}} Leftrightarrow {x^2} + 2 + frac{1}{{{x^2}}} = frac{{{x^4} + 2a{x^2} + {a^2}}}{{{x^2}}}\
 Leftrightarrow {x^2} + 2 + frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + 2a + frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2a = 2\
frac{a}{{{x^2}}} = frac{1}{{{x^2}}}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
a =  pm 1
end{array} right. Leftrightarrow a = 1\
 Rightarrow gleft$xright$ = x,cos x Rightarrow I = int {gleft$xright$dx = int {x,cos xdx} } 
end{array}$ 

Đặt $left{ begin{array}{l}
u = x\
dv = cos xdx
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{rm{du = dx}}\
v = {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}
end{array} right.$ 

$Rightarrow I=xsin x-int{sin text{x}dx=xsin x+cos x+C}$

Câu 22: Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng tỉ số thể tích: Cho các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC của hình chóp SABC. Khi đó ta có: $frac{{{V}_{SMNP}}}{{{V}_{SABC}}}=frac{SM}{SA}.frac{SN}{SB}.frac{SP}{SC}$

Cách giải:

Áp dụng tỉ số thể tích ta có: $frac{{{V_{SA’B’C’}}}}{{{V_{SABC}}}} = frac{{SA’}}{{SA}}.frac{{SB’}}{{SB}}.frac{{SC’}}{{SC}} Leftrightarrow frac{{{V_{SA’B’C’}}}}{V} = frac{1}{2}.frac{1}{2}.frac{1}{2} Rightarrow {V_{SA’B’C’}} = frac{V}{8}$

Câu 23: Đáp án D

Phương pháp:

Để tìm GTNN của hàm số$y=fleft$xright$$trên $left$$a;bright$$$ta làm các bước sau:

+) Giải phương trình $y’=0$tìm các giá trị ${{x}_{i}}.$

+) Tính các giá trị $yleft$aright$;yleft$x_{i}right$;yleft$bright$$

+) So sánh các giá trị vừa tính, chọn GTNN của hàm số và kết luận.

Cách giải:

Ta có: $y’={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}Rightarrow y’=0Leftrightarrow {{e}^{x}}+x{{e}^{x}}=0Leftrightarrow x+1=0Leftrightarrow x=-1$

$begin{array}{l}
 Rightarrow yleft$–2right$ =  – frac{2}{{{e^2}}};yleft$–1right$ =  – frac{1}{e};yleft$0right$ = 0\
 Rightarrow mathop {Min}limits_{left$$–2;0right$$}  =  – frac{1}{e},,khi,,,x =  – 1
end{array}$ 

Câu 24: Đáp án B

Phương pháp:

+) Hàm số $sqrt{fleft$xright$}$ xác định $Leftrightarrow fleft$xright$ge 0$

+) Hàm số${{log }_{a}}fleft$xright$$xác định $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
0 < a ne 1\
fleft$xright$ > 0
end{array} right.$

Cách giải:

Hàm số $y=sqrt{1+{{log }_{2}}x}+sqrt$$3$${{{log }_{2}}left$1-xright$}$ xác định $left{ begin{array}{l}
x > 0\
1 – x > 0\
1 + {log _2}x ge 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 0\
x < 1\
{log _2}2x ge 0
end{array} right.$ 

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
0 < x < 1\
2x ge 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
0 < x < 1\
x ge frac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow frac{1}{2} le x < 1$ 

Câu 25: Đáp án A

Phương pháp:

Cách 1: 

+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số$y=fleft$xright$$ từ  đó suy ra hàm số$y=fleft$x-1right$$và đồ  thị  hàm số $y=left| fleft$x-1right$ right|$

+) Số nghiệm của pt$left| fleft$x-1right$ right|=2$là số giao điểm của đồ thị hàm số$y=left| fleft$x-1right$ right|$và đường thẳng $y=2$

Cách 2:

+) Để có đồ thị hàm số$y=fleft$x-1right$$ta tịnh tiến đồ thị hàm số$y=fleft$xright$$ sang phải 1 đơn vị.

+) Lập bảng biến thiên của hàm số$y=fleft$x-1right$$từ đó suy ra dáng điệu đồ thị hàm số$y=left| fleft$x-1right$ right|$ và biện luận số nghiệm của phương trình $left| fleft$x-1right$ right|=2$

Cách giải:

Dựa vào BBT của đồ  thị  hàm số $y=fleft$xright$$ta suy ra BBT của đồ  thị  hàm số $y=fleft$x-1right$$bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y=fleft$xright$$theo vectơ $overrightarrow{v}=left$1;0right$$

BBT đồ thị hàm số $y=fleft$x-1right$$:

Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số$y=left| fleft$x-1right$ right|$có BBT như sau:

Số nghiệm của phương trình$y=left| fleft$x-1right$ right|$là số giao điểm của đồ thị hàm số$y=left| fleft$x-1right$ right|$ và  đường  thẳng $y=2$ .

Dựa vào đồ  thị  hàm số  ta thấy  đường thẳng $y=2$cắt đồ  thị  hàm số$y=left| fleft$x-1right$ right|$tại 5 điểm phân biệt, do đó phương trình $left| fleft$x-1right$ right|=2$có 5 nghiệm phân biệt.

Câu 26: Đáp án D

Phương pháp:

+) Đặt $z=a+bileft$a;binRright$Rightarrow overline{z}=a-bi,$ thay vào phương trình.

+) So sánh hai số phức $a + bi = a’ + b’i Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = a’\
b = b’
end{array} right.$ 

Cách giải: Đặt $z=a+bileft$a;binmathbbRright$Rightarrow overline{z}=a-bi,$ khi đó ta có:

$begin{array}{l}
left$1+iright$left$a+biright$ + left$2–iright$left$a–biright$ = 13 + 2i\
 Leftrightarrow a – b + left$a+bright$i + 2a – b – left$a+2bright$i = 13 + 2i\
 Leftrightarrow 3a – 2b – bi = 13 + 2i\
 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3a – 2b = 13\
 – b = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 3\
b =  – 2
end{array} right. Rightarrow z = 3 – 2i
end{array}$ 

Câu 27: Đáp án A

Phương pháp:

+) Đặt $gleft$xright$=fleft$sqrt{x}^2+2x+2right$$

+) Tìm số nghiệm của phương trình $g’left$xright$=0$ $khônglànghiệmbộichẵn$.

+) Lập BBT và kết luận điểm cực đại của hàm số.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số$y=f’left$xright$$ ta thấy $f’left$xright$ = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x =  – 1\
x = 1\
x = 3
end{array} right.$

Đặt $gleft$xright$=fleft$sqrt{x}^2+2x+2right$Rightarrow g’left$xright$=frac{x+1}{sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}f’left$sqrt{x}^2+2x+2right$$

$begin{array}{l}
g’left$xright$ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x + 1 = 0\
f’left$sqrt{x}^2+2x+2right$ = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x =  – 1\
sqrt {{x^2} + 2x + 2}  =  – 1left$vnright$\
sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 1left$1right$\
sqrt {{x^2} + 2x + 2}  = 3left$2right$
end{array} right.\
left$1right$ Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 1 Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0 Leftrightarrow {left$x+1right$^2} = 0 Leftrightarrow x =  – 1\
left$2right$ Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = 9 Leftrightarrow x =  – 1 pm 2sqrt 2 
end{array}$ 

Nghiệm của phương trình $1$ là nghiệm bội 2 nên không là cực trị của hàm số $y=gleft$xright$=fleft$sqrt{x}^2+2x+2right$$ .

Lập BBT của hàm số $y=gleft$xright$$:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số$y=gleft$xright$$đạt cực đại tại $x=-1$.

Chú ý và sai lầm: Lưu ý đạo hàm của hàm hợp.

Câu 28: Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích mặt cầu bán kính R: $S=4pi {{R}^{2}}$

Cách giải:

Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ $B’C’Rightarrow HH’bot left$ABCright$$ và

$HH’bot left$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }right$$.

Gọi I là trung điểm của HH’.

Mặt khác $Delta ABC$vuông tại A, $I in HH’ Rightarrow left{ begin{array}{l}
IA = IB = IC\
IA’ = IB’ = IC’
end{array} right.$ 

Dễ dàng chứng minh được $Delta BHI=Delta B’H’Ileft$c.g.cright$Rightarrow IB=IB’$

$Rightarrow IA=IB=IC=iA’=IB’=IC’$ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A’B’C’$

Kẻ $AKbot BC$ta có $AKbot left$BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }right$Rightarrow left$A{C}^{\prime };left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }right$ right)=left$A{C}^{\prime };K{C}^{\prime }right$=AC’K={{30}^{0}}$

Có $AC=AC’=sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a$

Ta có $AK=frac{AC.AB}{BC}=frac{a.asqrt{3}}{2a}=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow AC’=frac{AK}{sin 30}=asqrt{3}$

$begin{array}{l}
 Rightarrow {rm{AA}}’ = sqrt {AC{‘^2} – A’C{‘^2}}  = sqrt {3{a^2} – {a^2}}  = asqrt 2  = HH’\
 Rightarrow HI = frac{1}{2}HH’ = frac{a}{{sqrt 2 }} Rightarrow BI = sqrt {{a^2} + frac{{{a^2}}}{2}}  = frac{{asqrt 6 }}{2} = R\
 Rightarrow {S_{{mathop{rm m}nolimits} at,cau}} = 4pi {left$fracasqrt62right$^2}, = 6pi {a^2}
end{array}$ 

Câu 29: Đáp án C

Phương pháp :

+) Gắn hệ  trục tọa độ, tìm phương trình parabol. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục

hoành.

+) Gọi ${{x}_{A}}=aRightarrow AB=2a,$ tính diện tích hình ${{S}_{1}}$của phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB.

+) Sử dụng giả thiết ${{S}_{1}}=frac{1}{3}S$ tìm a và suy ra AB.

+) Tương tự tìm độ dài đoạn CD và tính tỉ số.

Cách giải :

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ :

Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là $y=-frac{1}{2}{{x}^{2}}+18$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là $S=intlimits_{-6}^{6}{left$-frac12x^2+18right$dx=left. left$-frac{x}^{3}6+18right$ right|}_{-6}^{6}=144$

Gọi ${{x}_{A}}=aRightarrow {{y}_{A}}=-frac{1}{2}{{a}^{2}}+18$

=>Phương trình đường thẳng AB: $y=-frac{1}{2}{{a}^{2}}+18$

Và ${{x}_{C}}=cRightarrow {{y}_{C}}=-frac{1}{2}{{c}^{2}}+18$

=>Phương trình đường thẳng CD : $y=-frac{1}{2}{{c}^{2}}+18$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là:

$begin{array}{l}
{S_1} = intlimits_{ – a}^a {left$–frac12x^2+18+frac12a^2–18right$dx = intlimits_{ – a}^a {left$–frac12x^2+frac12a^{2}right$dx = left. {left$–frac{x}^{3}6+frac{a}^{2}2xright$} right|_{ – a}^a =  – frac{{{a^3}}}{6} + frac{{{a^3}}}{2} – left$frac{a}^{3}6–frac{a}^{3}2right$ = frac{{2{a^3}}}{3}} } \
{S_1} = frac{1}{3}S Rightarrow frac{2}{3}{a^3} = frac{1}{3}.144 = 48 Rightarrow a = 2sqrt$$3$${9} Rightarrow AB = 2a = 4sqrt$$3$${9}
end{array}$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:

$begin{array}{l}
{S_2} = intlimits_{ – c}^c {left$–frac12x^2+18+frac12c^2–18right$dx = left. {left$–frac{x}^{3}6+frac{c}^{2}2xright$} right|} _{ – c}^c =  – frac{{{c^3}}}{6} + frac{{{c^3}}}{2} – left$frac{c}^{3}6–frac{c}^{3}2right$ = frac{{2{c^3}}}{3}\
{S_1} = frac{2}{3}S Rightarrow frac{2}{3}{c^3} = frac{2}{3}.144 = 96 Rightarrow c = 2sqrt$$3$${{18}} Rightarrow CD = 2c Rightarrow 4sqrt$$3$${{18}}\
 Rightarrow frac{{AB}}{{CD}} = frac{1}{{sqrt$$3$${2}}}
end{array}$