Câu 1: Đáp án A
Đồ thị hàm số $y=frac{2018}{x-2}$ có 1 tiệm cận đứng: $x=2$ và 1 tiệm cận ngang $y=0$
Câu 2: Đáp án A
Mặt cầu $left( S right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2y+4z-3=0$ có tâm $Ileft( -1;1;-2 right)$ và bán kính $R=3.$
Gọi O là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P)
$Rightarrow IO=dleft( I;left( P right) right)=frac{left| -2-2-2 right|}{sqrt{4+4+1}}=2,$ vậy thiết diện của mặt cầu (S) cắt bởi mặt phẳng $left( P right)$ là hình tròn có bán kính: $r=sqrt{{{R}^{2}}-I{{O}^{2}}}=sqrt{{{3}^{2}}-{{2}^{2}}}=sqrt{5},$ diện tích hình tròn là: $pi {{r}^{2}}=5pi $
Câu 3: Đáp án C
Giả sử thiết diện qua trục hình nón là DABC như hình vẽ. Vì DABC cân tại A, góc ở đáy bằng $45{}^circ $ nên DABC vuông cân tại A. Gọi O là tâm của đáy $Rightarrow OA=OB=OC=a,$ vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón, bán kính bằng $aRightarrow $ thể tích mặt cầu bằng: $frac{4}{3}pi {{a}^{3}}$
Câu 4: Đáp án B
đặt ${x^2} + 16 = t Rightarrow xdx = frac{{dt}}{2},left{ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow t = 16\
x = 3 Rightarrow t = 25
end{array} right. Rightarrow $
$intlimits_0^3 {xln left( {{x^2} + 16} right)dx} = frac{1}{2}intlimits_{16}^{25} {ln t.dt} $
Đặt $left{ begin{array}{l}
u = ln t\
dv = dt
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
du = frac{{dt}}{t}\
v = t
end{array} right. Rightarrow frac{1}{2}intlimits_{16}^{25} {ln t.dt} = frac{1}{2}left( {left. {t.ln t} right|_{16}^{25} – intlimits_{16}^{25} {dt} } right) = frac{1}{2}left( {left. {25ln 25 – 16ln 16 – t} right|_{16}^{25}} right) = 25ln 5 – 32ln 2 – frac{9}{2}$
$ Rightarrow a = 25;b = – 32,c = – 9 Rightarrow T = a + b + c = – 16$
Câu 5: Đáp án A
Đồ thị hàm số là đường liền nét đi lên từ trái qua phải trên khoảng $left( 0;2 right)Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $left( 0;2 right)$
Câu 6: Đáp án B
$dfrac{1}{2}overrightarrow{AB}=left( 1;2;-1 right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của AB. $I(2;1;0)$ là trung điểm của AB, khi đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là $x-2+2left( y-1 right)-z=0Leftrightarrow x+2y-z-4=0$
Câu 7: Đáp án C
Gọi H là hình chiếu của M trên $left( P right)Rightarrow MH$ là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Đường thẳng D có vectơ chỉ phương $vec{u}=(2;1;3),$ mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $vec{n}=left( 1;1;-2 right)$
Khi đó: $cos HMA=left| cos left( overrightarrow{u};overrightarrow{n} right) right|=dfrac{left| 1.2+1.1-2.3 right|}{sqrt{1+1+4}.sqrt{4+1+9}}=dfrac{3}{sqrt{84}}$
Tam giác MHA vuông tại H$Rightarrow cos HMA=dfrac{MH}{MA}Rightarrow MH=MA.cos HMA=sqrt{84}.dfrac{3}{sqrt{84}}=3$
Câu 8: Đáp án B
Ta có $left{ begin{array}{l}
sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0\
x – 2 = 0 Leftrightarrow x = 2\
sqrt x = x – 2 Leftrightarrow x = 4left( {x ge 0} right)
end{array} right..$
Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: $V=pi intlimits_{0}^{2}{{{left( sqrt{x} right)}^{2}}dx}+pi intlimits_{2}^{4}{left[ {{left( sqrt{x} right)}^{2}}-{{left( x-2 right)}^{2}} right]dx=frac{16pi }{3}}$
Câu 9: Đáp án C
Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $A_{6}^{4}=360$ số
Câu 10: Đáp án A
${3^{2x + 8}} – {4.3^{x + 5}} + 27 = 0 Leftrightarrow {3^{2left( {x + 4} right)}} – {12.3^{x + 4}} – 27 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{3^{x + 4}} = 3\
{3^{x + 4}} = 9
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 3\
x = – 2
end{array} right.$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên là $left( -3 right)+left( -2 right)=-5$
Câu 11: Đáp án C
${{log }_{a}}{{x}^{2}}=2{{log }_{a}}x,forall x>0$
Câu 12: Đáp án B
$AB//CDRightarrow AB//left( SCD right)Rightarrow dleft( B;left( SCD right) right)=dleft( AB;left( SCD right) right)=dleft( A;left( SCD right) right)$
Dựng $AHbot SD$ (1)
Ta có $left{ begin{array}{l}
AD bot CD\
SA bot CD subset left( {ABCD} right)
end{array} right. Rightarrow CD bot left( {SAD} right) Rightarrow CD bot AHleft( 2 right)$
Từ (1) và (2) $Rightarrow AHbot left( SCD right)Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=AH$
Xét $Delta SAD$ vuông tại A có $SA=asqrt{3},AD=aRightarrow frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{A{{D}^{2}}}$
$Rightarrow AH=frac{asqrt{3}}{2}$
Câu 13: Đáp án C
Cấp số cộng $left( {{u}_{n}} right)$ với số hạng đầu ${{u}_{1}},$ công sai d có số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+left( n-1 right)d,$
Câu 14: Đáp án D
$underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( frac{4{{x}^{2}}-3x+1}{2x+1}-ax-b right)=0Leftrightarrow underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( 2x-frac{5}{2}+frac{7}{2left( 2x+1 right)}-ax-b right)=0$
$Leftrightarrow underset{xto +infty }{mathop{lim }},left( left( 2-a right)x-left( frac{5}{2}+b right)+frac{7}{2left( 2x+1 right)} right)=0$ mà $Leftrightarrow underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{7}{2left( 2x+1 right)}=0$
$ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {left( {2 – a} right)x – left( {frac{5}{2} + b} right) + frac{7}{{2left( {2x + 1} right)}}} right) = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2 – a = 0\
frac{5}{2} + b = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 2\
b = – frac{5}{2}
end{array} right. Rightarrow a + 2b = – 3$
Câu 15: Đáp án B
Mặt cầu $left( S right):{{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}+{{z}^{2}}=11$ có tâm $I(1;-1;0),$ bán kính $R=sqrt{11}.$
Các đường thẳng $left( {{d}_{1}} right),left( {{d}_{2}} right)$ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $overrightarrow{{{u}_{1}}}=left( 1;1;2 right),overrightarrow{{{u}_{2}}}=left( 1;2;1 right)$
Mặt phẳng $left( alpha right)$ song song với $left( {{d}_{1}} right),left( {{d}_{2}} right)$có vectơ pháp tuyến là: $overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=left( 3;-1;-1 right)$ $left( alpha right)$ có dạng: $left( alpha right):3x-y-z+d=0.$ Vì $left( alpha right)$ tiếp xúc với (S ) nên: $dleft( I;left( alpha right) right)=R$
$ Rightarrow frac{{left| {3 + 1 + d} right|}}{{sqrt {{3^2} + {{left( { – 1} right)}^2} + {{left( { – 1} right)}^2}} }} = sqrt {11} Leftrightarrow left| {4 + d} right| = 11$ $ Leftrightarrow 4 + d = pm 11 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
d = – 7\
d = 15
end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}
left( alpha right):3x – y – z – 7 = 0\
left( alpha right):3x – y – z + 15 = 0
end{array} right.$
Vậy phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $left( alpha right):3x-y-z-7=0$
Câu 16: Đáp án C
Điều kiện: $2x-1>0Leftrightarrow x>dfrac{1}{2},$ vậy TXĐ của hàm số là $D=left( dfrac{1}{2};+infty right)$
Câu 17: Đáp án D
Kiến thức: Chóp tam giác có 3 cạnh bên đôi một vuông góc với nhau thì hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với trực tâm của đáy.
Chóp O.ABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, $M(2;1;5)$ là trực tâm $Delta ABC.$
$Rightarrow OMbot left( ABC right)equiv left( P right),$ vậy (P) nhận $overrightarrow{OM}=(2;1;5)$ làm một vectơ pháp tuyến. $Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng (P) là: $2left( x-2 right)+y-1+5left( z-5 right)=0Leftrightarrow 2x+y+5z-30=0$
Vậy $dleft( I;left( P right) right)=dfrac{left| 2+2+15-30 right|}{sqrt{4+1+25}}=dfrac{11sqrt{30}}{30}$
Câu 18: Đáp án A
Đặt $t = {z^2} Rightarrow {t^2} + 3t – 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – frac{3}{2} + frac{{sqrt 7 }}{2}i\
t = – frac{3}{2} – frac{{sqrt 7 }}{2}i
end{array} right.$
Vật $T={{left| {{z}_{1}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{2}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{3}} right|}^{2}}+{{left| {{z}_{4}} right|}^{2}}=2left| -frac{3}{2}+frac{sqrt{7}}{2}i right|+2left| -frac{3}{2}-frac{sqrt{7}}{2}i right|=8$
Câu 19: Đáp án B
$y = frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1 Rightarrow left{ begin{array}{l}
y’ = {x^2} – 4x + 3\
y” = 2x – 4
end{array} right..y’ = 0 Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 3
end{array} right.$
$y”left( 3 right)=2.3-4=2>0Rightarrow x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 20: Đáp án D
$int{kfleft( x right)dx}=kint{fleft( x right)dx}Leftrightarrow kne 0$
Câu 21: Đáp án A
Điều kiện: $left{ begin{array}{l}
x > 0\
x – 3 > 0
end{array} right. Rightarrow x > 3$
${log _2}x + {log _2}left( {x – 3} right) = 2 Leftrightarrow {log _2}left( {xleft( {x – 3} right)} right) = 2 Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = 4left( {tm} right)
end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$
Câu 22: Đáp án C
$left{ begin{array}{l}
a > 1\
– sqrt 3 > – sqrt 5
end{array} right. Rightarrow {a^{ – sqrt 3 }} > {a^{ – sqrt 5 }} Leftrightarrow {a^{ – sqrt 3 }} > frac{1}{{{a^{sqrt 5 }}}}$
Câu 23: Đáp án A
Hàm $dfrac{ax+b}{cx+d}$ có TCN là đường $y=dfrac{a}{c}Rightarrow y=dfrac{x-1}{-3x+2}$ có TCN là đường $y=-dfrac{1}{3}$
Câu 24: Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm: $dfrac{x+1}{x-2}=-2x+mLeftrightarrow 2{{x}^{2}}-left( m+3 right)x+2m+1=0left( xne 2 right)$
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình $2{{x}^{2}}-left( m+3 right)x+2m+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta = {left( {m + 3} right)^2} – 8left( {2m + 1} right) > 0\
{2.2^2} – 2left( {m + 3} right) + 2m + 1 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 10m + 1 > 0\
3 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow {m^2} – 10m + 1 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > 5 + 2sqrt 6 \
m < 5 – 2sqrt 6
end{array} right.$
Câu 25: Đáp án D
Nhận thấy: $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2=-left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 right)-1=-{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-1le -1<0,forall xin mathbb{R}$
$Rightarrow $ Đồ thị hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2$ nằm phía dưới trục hoành.
Câu 26: Đáp án D
Bán kính đáy hình trụ bằng 2a. Mặt phẳng đi qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông Þ Chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy $=4a.$ Thế tích khối trụ là: $pi {{left( 2a right)}^{2}}.4a=16pi {{a}^{3}}$
Câu 27: Đáp án A
Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm $Rightarrow $ để đạt được 6 điểm, thí sinh đó phải trả lời đúng $dfrac{6}{0,2}=30$ câu
Xác suất trả lời đúng một câu là $dfrac{1}{4}=0,25,$ xác suất trả lời sai một câu là $dfrac{3}{4}=0,75$
Có $C_{50}^{30}$cách trả lời đúng 30 trong 50 câu, 20 câu còn lại đương nhiên trả lời sai.
Vậy xác suất để thí sinh đó đạt 6 điểm sẽ là: $0,{{25}^{30}}.0,{{75}^{20}}.C_{50}^{30}=0,{{25}^{30}}.0,{{75}^{20}}.C_{50}^{20}$
Câu 28: Đáp án B
${{S}_{xq}}=2pi Rh=2pi .5.7=70pi left( c{{m}^{2}} right)$
Câu 29: Đáp án C
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $ – frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + frac{3}{2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} = – 1\
{x^2} = 3
end{array} right. Leftrightarrow {x^2} = 3 Leftrightarrow x = pm sqrt 3 $
Vậy đồ thị hàm số $y=-dfrac{{{x}^{4}}}{2}+{{x}^{2}}+dfrac{3}{2}$ cắt trục hoành tại 2 điểm
Câu 30: Đáp án B
$y=dfrac{2x+1}{x+1}Rightarrow y’=dfrac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}}>0,forall xin left( -infty ;-1 right)cup left( -1;+infty right)$
Câu 31: Đáp án A
$z={{left( 1+i right)}^{2}}left( 1+2i right)=-4+2iRightarrow z$ có phần ảo là 2.
Câu 32: Đáp án D
${{log }_{6}}45={{log }_{6}}left( 36.dfrac{5}{4} right)={{log }_{6}}36+{{log }_{6}}left( dfrac{5}{4} right)=2+dfrac{{{log }_{2}}left( dfrac{5}{4} right)}{{{log }_{2}}6}=2+dfrac{{{log }_{2}}5-{{log }_{2}}4}{{{log }_{2}}left( 2.3 right)}=2+dfrac{{{log }_{2}}5-2{{log }_{2}}2}{{{log }_{2}}3+{{log }_{2}}2}$
$=2+dfrac{{{log }_{2}}5-2}{{{log }_{2}}3+1}Rightarrow a=2,b=-2,c=1Rightarrow a+b+c=1$
Câu 33: Đáp án C
Bài toán đúng với mọi đa diện có mặt là tam giác, vậy để đơn giản, ta chọn đa diện là tứ diện. Tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh $Rightarrow M=4,C=6Rightarrow 3M=2C$
Câu 34: Đáp án A
Mặt phẳng $left( alpha right):2x-y+3z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{1}}}left( 2;-1;3 right).$
Vậy vectơ $overrightarrow{n}left( -4;2;-6 right)$ cùng phương với vectơ $overrightarrow{{{n}_{1}}}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $left( alpha right)$
Câu 35: Đáp án D
Điểm P là hình chiếu vuông góc của $A(3;2;1)$ trên $OxRightarrow P(3;0;0).$
Phương trình mặt phẳng (MNP) là: $dfrac{x}{3}+dfrac{y}{2}+dfrac{z}{1}=1$
Câu 36: Đáp án D
${{left( x-dfrac{2}{{{x}^{2}}} right)}^{21}}={{left( x-2{{x}^{-2}} right)}^{21}}$ có SH tổng quát: $C_{21}^{k}.{{x}^{21-k}}.{{left( -2{{x}^{-2}} right)}^{k}}=C_{21}^{k}.{{x}^{21-k}}.{{left( -2 right)}^{k}}.{{x}^{-2k}}=C_{21}^{k}.{{left( -2 right)}^{k}}.{{x}^{21-3k}}$
Số hạng không chứa x là $C_{21}^{k}.{{left( -2 right)}^{k}}.{{x}^{21-3k}}$ sao cho $21-3k=0Leftrightarrow k=7Rightarrow C_{21}^{7}{{left( -2 right)}^{7}}=-{{2}^{7}}C_{21}^{7}$
Câu 37: Đáp án B
${{left( sqrt[3]{5} right)}^{x-1}}<{{5}^{x+3}}Leftrightarrow {{5}^{dfrac{x-1}{3}}}<{{5}^{x+3}}Leftrightarrow dfrac{x-1}{3}<x+3Leftrightarrow x>-5$
Câu 38: Đáp án B
Đồ thị hàm số $y=frac{x+1}{sqrt{m{{left( x-1 right)}^{2}}+4}}$ có 2 tiệm cận đứng Û phương trình $m{{left( x-1 right)}^{2}}+4=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác
$ – 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 0\
m{left( { – 1 – 1} right)^2} + 4 ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m < 0\
m ne – 1
end{array} right.$
