Câu 30: Đáp án D
Phương pháp:
$left( P right)//left( alpha right)Rightarrow $Phương trình mặt phẳng $left( P right)$có dạng $4x+3y-12z+D=0left( Dne 10 right)$
$left( P right)$tiếp xúc với $left( S right)Rightarrow dleft( I;left( P right) right)=R,$với I; R là tâm và bán kính mặt cầu $left( S right)$.
Cách giải:
Gọi mặt phẳng $left( P right)$là mặt phẳng cần tìm.
$left( P right)//left( alpha right)$Phương trình mặt phẳng $left( P right)$có dạng $4x+3y-12z+D=0left( Dne 10 right)$
Mặt cầu $left( S right)$có tâm $Ileft( 1;2;3 right)$, bán kính $R=4$
$left( P right)$tiếp xúc với $left( S right)Rightarrow dleft( I;left( P right) right)=R$
$ Rightarrow frac{{left| {4.1 + 3.2 – 12.3 + D} right|}}{{sqrt {{4^2} + {3^2} + {{left( { – 12} right)}^2}} }} = 4 Leftrightarrow left| {D – 26} right| = 52 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
D = 78\
D = – 26
end{array} right.$
Vậy mặt phẳng $left( P right)$thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình $left[ begin{array}{l}
4x + 3y – 12z – 26 = 0\
4x + 3y – 12z + 78 = 0
end{array} right.$
Câu 31: Đáp án B
Phương pháp: $left( P right)$cách đều $B,CLeftrightarrow dleft( B;left( P right) right)=dleft( C;left( P right) right)$
TH1: $BC//left( P right)$
TH2: $Iin left( P right),$ với I là trung điểm của BC.
Cách giải:
Ta có: $overrightarrow{OA}=left( -1;-2;0 right)$
$left( P right)$cách đều $B,CLeftrightarrow dleft( B;left( P right) right)=dleft( C;left( P right) right)$
TH1: $BC//left( P right)$
$overrightarrow{BC}=left( 0;4;-3 right)Rightarrow left[ overrightarrow{OA};overrightarrow{BC} right]=left( 6;-3;-4 right)Rightarrow left( P right)$đi qua O và nhận $overrightarrow{b}=left( 6;-3;-4 right)$là 1 VTPT
$Rightarrow left( P right):6x-3y-4z=0Leftrightarrow left( P right):-6x+3y+4z=0$
TH2: $Iin left( P right),$ với I là trung điểm của BC.
$begin{array}{l}
Ileft( {0; – 2; – frac{3}{2}} right) Rightarrow overrightarrow {OI} = left( {0; – 2; – frac{3}{2}} right) Rightarrow left[ {overrightarrow {OA} ;overrightarrow {OB} } right] = frac{1}{2}left( {6; – 3;4} right)\
Rightarrow left( P right):6x – 3y + 4z = 0
end{array}$
Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.
Câu 32: Đáp án C
Phương pháp: Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x={{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$là nghiệm của phương trình mẫu mà không là nghiệm của phương trình tử.
Cách giải:
ĐK: $xge -1$và ${{x}^{2}}-left( 1-m right)x+2m>0$
Xét phương trình $1+sqrt{x+1}=0$vô nghiệm.
Xét phương trình ${{x}^{2}}-left( 1-m right)x+2m=0left( * right).$ Để đồ thị hàmsố có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK $xge -1$.
$ Leftrightarrow Delta > 0 Leftrightarrow {left( {1 – m} right)^2} – 8m > 0 Leftrightarrow {m^2} – 10m + 1 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > 5 + 2sqrt 6 \
m < 5 – 2sqrt 6
end{array} right.$
Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ta có:
${x_1} > {x_2} ge – 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a,fleft( { – 1} right) ge 0\
frac{S}{2} > – 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m + 2 ge 0\
2 – m > – 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ge – 2\
m < 4
end{array} right. Leftrightarrow – 2 le m < 4$
Kết hợp điều kiện ta có: $min left[ -2;5-2sqrt{6} right)overset{min mathbb{Z}}{mathop{Rightarrow }},min left{ -2;-1;0 right}$
Thử lại:
Với $m = – 2 Rightarrow {x^2} – 3x – 4 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 4\
x < – 1
end{array} right. Rightarrow TXD:D = left( {4; + infty } right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=frac{1+sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-3x-4}$ có 1 tiệm cận đứng $x=4Rightarrow $Loại.
Với $m = – 1 Rightarrow {x^2} – 2x – 2 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 1 + sqrt 3 \
x < 1 – sqrt 3
end{array} right. Rightarrow TXD:D = left[ { – 1;1 – sqrt 3 } right) cup left( {1 + sqrt 3 ; + infty } right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=frac{1+sqrt{x+1}}{sqrt{{{x}^{2}}-2x-2}}$có 2 tiệm cận đứng $x=1pm sqrt{3}Rightarrow $TM.
Khi $m = 0 Rightarrow {x^2} – x > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 1\
x < 0
end{array} right. Rightarrow TXD:D = left[ { – 1;1} right) cup left( {0; + infty } right)$
Khi đó hàm số có dạng $y=frac{1+sqrt{x+1}}{sqrt{{{x}^{2}}-x}}$có 2 tiệm cận đứng $x=0;x=1Rightarrow $TM
Vậy $min left{ -1;0 right}$
Câu 33: Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng tính chất: $frac{IA}{IB}=frac{dleft( A;left( P right) right)}{dleft( B;left( P right) right)}$
Cách giải:
Ta có: $dleft( A;left( P right) right)=frac{left| 2+2+2+2 right|}{sqrt{1+1+1}}=frac{8}{sqrt{3}};dleft( B;left( P right) right)=frac{left| 3-1-0+2 right|}{sqrt{1+1+1}}=frac{4}{sqrt{3}}$
$Rightarrow frac{IA}{IB}=frac{dleft( A;left( P right) right)}{dleft( B;left( P right) right)}=frac{frac{8}{sqrt{3}}}{frac{4}{sqrt{3}}}=2$
Câu 34: Đáp án D
Phương pháp : Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=fleft( x right);y=gleft( x right);x=a;x=b$khi quay quanh trục Ox là $V=pi intlimits_{a}^{b}{left| {{f}^{2}}left( x right)-{{g}^{2}}left( x right) right|dx}$
Cách giải: ĐK: $xge 0;yge 0$
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = – x + 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = – 2left( {ktm} right)\
x = 1left( {tm} right)
end{array} right.$
$V=pi intlimits_{0}^{1}{left| {{x}^{4}}-{{left( -x+2 right)}^{2}} right|dx}=pi left| intlimits_{0}^{1}{left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+4x-4 right)dx} right|=frac{32}{15}pi $
Câu 35: Đáp án A
Phương pháp: Đối với tích $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx}$, sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Tìm k để $intlimits_{0}^{1}{{{left[ f’left( x right)+kx4 right]}^{2}}d}x=0$
Cách giải:
Ta có $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx}=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dleft( frac{{{x}^{4}}}{4} right)=left. frac{{{x}^{4}}.fleft( x right)}{4} right|}_{0}^{1}-frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx}=frac{fleft( 1 right)}{4}-frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx}$
Mà $fleft( 1 right)=1$và $intlimits_{0}^{1}{{{x}^{3}}fleft( x right)dx}=frac{1}{2}$suy ra $frac{1}{2}=frac{1}{4}-frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx}Leftrightarrow intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx=-1}$
Xét ${{intlimits_{0}^{1}{left[ f’left( x right)+k{{x}^{4}} right]}}^{2}}dx=intlimits_{0}^{1}{{{left[ f’left( x right) right]}^{2}}dx+2k.intlimits_{0}^{1}{{{x}^{4}}f’left( x right)dx+{{k}^{2}}.intlimits_{0}^{1}{{{x}^{8}}dx}}=9-2k+frac{{{k}^{2}}}{9}=0Rightarrow k=9}$
Khi đó ${{intlimits_{0}^{1}{left[ f’left( x right)+9{{x}^{4}} right]}}^{2}}dx=0Rightarrow f’left( x right)+9{{x}^{4}}=0Leftrightarrow f’left( x right)=-9{{x}^{4}}Rightarrow fleft( x right)=int{f’left( x right)dx=-frac{9{{x}^{5}}}{5}+C}$
Mặt khác $fleft( 1 right)=1Rightarrow C-frac{9}{5}Leftrightarrow C=frac{14}{5}.$Vậy $fleft( x right)=-frac{9{{x}^{5}}}{5}+frac{14}{5}Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx=frac{5}{2}}$
Câu 36: Đáp án
Câu 37: Đáp án B
Phương pháp:
Giải phương trình $y’=0$ tìm các điểm cực trị B, C của đồ thị hàm số và tính diện tích tam giác OBC.
Cách giải: TXĐ: $D=R$
Ta có: $y’ = 6{x^2} – 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0 Rightarrow y = m – 1 Rightarrow Bleft( {0;m – 1} right)\
x = 1 Rightarrow y = m – 2 Rightarrow Cleft( {1;m – 2} right)
end{array} right.$
$ Rightarrow {S_{OBC}} = frac{1}{2}dleft( {C;OB} right).OB = frac{1}{2}.1.left| {m – 1} right| = 2 Leftrightarrow left| {m – 1} right| = 4 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m = 5\
m = – 3
end{array} right.$
Câu 38: Đáp án A
Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến.
Cách giải:
$left{ begin{array}{l}
left( {SBI} right) bot left( {ABCD} right)\
left( {SCI} right) bot left( {ABCD} right)\
left( {SBI} right) bot left( {SCI} right)
end{array} right. Rightarrow SI bot left( {ABCD} right)$
Kẻ $IH bot CD$ ta có: $left{ begin{array}{l}
BC bot IH\
BC bot SI
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SIH} right) Rightarrow BC bot SH$
$begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
left( {SBC} right) cap left( {ABCD} right) = BC\
left( {SBC} right) supset SH bot BC\
left( {ABCD} right) supset IH bot BC
end{array} right.\
Rightarrow left( {left( {SBC} right);left( {ABCD} right)} right) = left( {SH;IH} right) = SHI
end{array}$
Ta có: ${{S}_{ABCD}}=frac{1}{2}left( AB+CD right).AD=frac{1}{2}left( 2a+a right).2a=3{{a}^{2}}$
$Rightarrow SI=frac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=frac{3.frac{3sqrt{15}{{a}^{3}}}{5}}{3{{a}^{2}}}=frac{3sqrt{15}}{5}a$
Gọi E là trung điểm của $ABRightarrow EC=AD=2a$
$Rightarrow BC=sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=asqrt{5}$
$begin{array}{l}
{S_{IBC}} = {S_{ABCD}} – {S_{ABI}} – {S_{CDI}} = 3{a^2} – frac{1}{2}.a.2a – frac{1}{2}.a.a = frac{3}{2}{a^2}\
{S_{IBC}} = frac{1}{2}IH.BC Rightarrow IH = frac{{2{S_{IBC}}}}{{BC}} = frac{{3asqrt 5 }}{5}\
Rightarrow ,tan ,SHI = frac{{SI}}{{IH}} = sqrt 3 = {60^0}
end{array}$
Câu 39: Đáp án C
Phương pháp:
Rút y theo x từ phương trình (1), thế vào phương trình (2) để tìm khoảng giá trị của x.
Đưa biểu thức P về 1 ẩn x và tìm GTLN, GTNN của biểu thức P.
Cách giải: $left{ begin{array}{l}
{x^2} – xy + 3 = 0,,,,,,,,,left( 1 right)\
2x + 3y – 14 le 0,,,,,,left( 2 right)
end{array} right.$
Ta nhận thấy $x=0$không thỏa mãn phương trình (1), do đó $left( 1 right)Leftrightarrow y=frac{{{x}^{2}}+3}{x},$ thế vào (2):
$begin{array}{l}
2x + 3frac{{{x^2} + 3}}{x} – 14 le 0 Leftrightarrow frac{{2{x^2} + 3{x^2} + 9 – 14x}}{x} le 0\
Leftrightarrow frac{{5{x^2} – 14x + 9}}{x} le 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x < 0\
1 le x le frac{9}{5}
end{array} right. Rightarrow 1 le x le frac{9}{5}
end{array}$
$P=3{{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}-2{{x}^{3}}+2x$
$P=3{{x}^{2}}.frac{{{x}^{2}}+3}{x}-x.{{left( frac{{{x}^{2}}+3}{x} right)}^{2}}-2{{x}^{3}}+2x$
$P=3xleft( {{x}^{2}}+3 right)-frac{{{left( {{x}^{2}}+3 right)}^{2}}}{x}-2{{x}^{3}}+2x$
Sử dụng MTCT ta tính được $left[ begin{array}{l}
max P = 4 Leftrightarrow x = frac{9}{5}\
min ,P = – 4 Leftrightarrow x = 1
end{array} right. Rightarrow m{rm{ax}},P + min ,P = 0$
Câu 40: Đáp án C
Phương pháp: Dựa vào các điểm mà đồ thị hàm số đi qua.
Cách giải:
Đồ thị hàm số đi qua điểm $left( 0;4 right)Rightarrow d=4$
Đồ thị hàm số đi qua điểm $left( 1;-1 right)Rightarrow -2+b+c+4=-1Rightarrow b+c=-3$
Đồ thị hàm số đi qua điểm $left( 2;0 right)Rightarrow -2.8+4b+2c+4=0Leftrightarrow 2b+c=6$
Từ đó ta suy ra $left{ begin{array}{l}
b = 9\
c = – 12
end{array} right. Rightarrow b + c + d = 1$
Câu 41: Đáp án C
Cách giải:
Xét các số $x=a;y=b+1;z=c+2;t=d+3.$Vì $1le ale ble cle dle 9Rightarrow 1le x<y<z<tle 12,,,,,,,,left( * right)$
Và mỗi bộ 4 số$left( x;y;z;t right)$được chọn từ tập hợp $left{ 1;2;3;…;12 right}$ ta đều thu được bộ số thỏa mãn
(*). Do đó, số cách chọn 4 số trong 12 số là $C_{12}^{4}=495$ số suy ra $nleft( X right)=495$
Số phần tử của không gian mẫu là $nleft( Omega right)=9.10.10.10=9000$
Vậy xác suất cần tính là $P=frac{nleft( X right)}{nleft( Omega right)}=frac{495}{9000}=frac{11}{200}=0,055$
Câu 42: Đáp án D
Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để giải bài toán.
Cách giải: Giả sử mặt phẳng chứa AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác AEC’F.$left( Ein A’B’;Fin CD right)$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
left( {AEC’F} right) cap left( {ABCD} right) = A,F\
left( {AEC’F} right) cap left( {A’B’C’D’} right) = EC’\
left( {ABCD} right)//left( {A’B’C’D’} right)
end{array} right. Rightarrow A,F//EC’$
Tương tự ta chứng minh được $AEtext{ }//text{ }FC$
=>AEC’ F là hình bình hành $Rightarrow {{S}_{AEC’F}}=2{{S}_{AEC’}}$
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
$A’left( 0;0;0 right);B’left( 2;0;0 right);C’left( 2;2;0 right);D’left( 0;2;0 right);Aleft( 0;0;2 right),Bleft( 2;0;2 right),Cleft( 2;2;2 right),Dleft( 0;2;2 right)$
Gọi $Eleft( x;0;0 right),,left( 0le xle 2 right)$ ta có:
$overrightarrow{AC’}left( 2;2;-2 right);overrightarrow{AE}=left( x;0;-2 right)Rightarrow {{S}_{AEC’}}=frac{1}{2}left| left[ overrightarrow{AC’};overrightarrow{AE} right] right|=frac{1}{2}sqrt{8left( {{x}^{2}}-2x+4 right)}$
Ta có ${{x}^{2}}-2x+4={{left( x-1 right)}^{2}}+3ge {{S}_{AEC’}}ge frac{1}{2}sqrt{8.3}=sqrt{6}$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow x=1,$ khi đó ${{S}_{AEC’,,min }}=sqrt{6}Rightarrow {{S}_{AEC’Fmin }}=2sqrt{6}$
Câu 43: Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính giới hạn của hình phẳng.
Cách giải:
Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là $y={{x}^{2}}-4x+3$
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} – 4x + 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 3
end{array} right.$
Khi đó diện tích giới hạn bởi $left( P right)$ và trục hoành là $S=-intlimits_{1}^{3}{left( {{x}^{2}}-4x+3 right)dx=frac{4}{3}}$
Câu 44: Đáp án C
Phương pháp: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số$left( C right)$, tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức đó từ đó suy ra tọa độ các điểm M, N.
Tính độ dài MN.
Cách giải: TXĐ: $D=Rbackslash left{ 3 right}$
Đồ thị hàm số có đường TCN $y=4left( {{d}_{1}} right)$và TCĐ $x=3left( {{d}_{2}} right)$.
Gọi điểm $Min left( C right)$có dạng $Mleft( a;frac{4a-3}{a-3} right)$ khi đó ta có:
$begin{array}{l}
dleft( {M;{d_2}} right) = left| {a – 3} right|;dleft( {M;{d_1}} right) = left| {frac{{4a – 3}}{{a – 3}} – 4} right| = frac{9}{{left| {a – 3} right|}}\
Rightarrow dleft( {M;{d_2}} right) + dleft( {M;{d_1}} right) = left| {a – 3} right| + frac{9}{{left| {a – 3} right|}} ge 2sqrt 9 = 3
end{array}$
Dấu = xảy ra $ Leftrightarrow left| {a – 3} right| = frac{9}{{left| {a – 3} right|}} Leftrightarrow {left( {a – 3} right)^2} = 9 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a = 6\
a = 0
end{array} right.$
$Rightarrow Mleft( 6;7 right),Nleft( 0;1 right)Rightarrow MN=sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}}=6sqrt{2}$
Câu 45: Đáp án B
Phương pháp: Nhân liên hợp, tách thành 2 tích phân và sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cách giải: $intlimits_{1}^{2}{frac{x}{3x+sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx=intlimits_{1}^{2}{frac{xleft( 3x-sqrt{9{{x}^{2}}-1} right)}{9{{x}^{2}}-left( 9{{x}^{2}}-1 right)}}dx}$
Đặt $sqrt{9{{x}^{2}}-1}=tLeftrightarrow 9{{x}^{2}}-1={{t}^{2}}Leftrightarrow 18xdx=2tdtLeftrightarrow xdx=frac{1}{9}tdt$
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 1 Rightarrow t = 2sqrt 2 \
x = 2 Rightarrow t = sqrt {35}
end{array} right.$
$Rightarrow {{I}_{2}}=frac{1}{9}intlimits_{2sqrt{2}}^{sqrt{35}}{{{t}^{2}}dt=left. frac{{{t}^{3}}}{27} right|}_{2sqrt{2}}^{sqrt{35}}=frac{35sqrt{35}}{27}-frac{16sqrt{2}}{27}$
$begin{array}{l}
Rightarrow I = 7 + frac{{16sqrt 2 }}{{27}} – frac{{35sqrt {35} }}{{27}} Rightarrow left{ begin{array}{l}
a = 7\
b = frac{{16}}{{27}}\
c = – frac{{35}}{{27}}
end{array} right.\
Rightarrow P = a + 2b + c – 7 = – frac{1}{9}
end{array}$
Câu 46: Đáp án A
Phương pháp: Đặt $t={{4}^{x}}$
Cách giải:
Đặt $t={{4}^{x}},,left( t>0 right),$ khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-2left( m-3 right)t+3m+1=0Leftrightarrow {{t}^{2}}+6t+1=mleft( 2t-3 right)$
Với $t=frac{3}{2}Rightarrow $Phương trình vô nghiệm.
Với $tne frac{3}{2}left( t>0 right),$phương trình trở thành $m=frac{{{t}^{2}}+6t+1}{2t-3}=fleft( t right),,left( t>0;tne frac{3}{2} right)$
Để phương trình ban đầu có nghiệm $Rightarrow underset{xin left( 0;+infty right)backslash left{ frac{3}{2} right}}{mathop{min }},,fleft( t right)le mle underset{in left( 0;+infty right)backslash left{ frac{3}{2} right}}{mathop{m,text{ax}}},,fleft( t right)$
Xét hàm số $fleft( t right)=frac{{{t}^{2}}+6t+1}{2t-3}$ta có:
$f’left( t right) = frac{{left( {2t + 6} right)left( {2t – 3} right) – 2left( {{t^2} + 6t + 1} right)}}{{{{left( {2t – 3} right)}^2}}} = frac{{2{t^2} – 6t – 20}}{{{{left( {2t – 3} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 5 in left( {0; + infty } right)backslash left{ {frac{3}{2}} right}\
t = – 2 notin left( {0; + infty } right)backslash left{ {frac{3}{2}} right}
end{array} right.$
Lập BBT ta được :
Để phương trình có nghiệm dương thì $left[ begin{array}{l}
m < – frac{1}{3}\
m ge 8
end{array} right.$
Câu 47: Đáp án A
Phương pháp:
Xác định góc giữa hai mặt phẳng $left( ABC right);left( ABD right),$ tìm điều kiện của x để góc đó bằng ${{90}^{circ }}.$
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của AB ta có :
Tam giác ABC cân tại $CRightarrow CMbot AB$
Tam giác ABD cân tại $text{D}Rightarrow text{DM}bot text{AB}$
$left{ begin{array}{l}
left( {ABC} right) cap left( {ABD} right) = AB\
left( {ABC} right) supset CM bot AB\
left( {ABD} right) supset DM bot AB
end{array} right. Rightarrow left( {left( {ABC} right);left( {ABD} right)} right) = left( {CM;DM} right)$
Để $left( ABC right)bot left( ABD right)Rightarrow left( CM;DM right)={{90}^{circ }}Rightarrow CMbot DMRightarrow Delta CDM$ vuông tại M.
Gọi N là trung điểm của CD, chứng minh tương tự như trên ta có:
$left( left( ACD right);left( BCD right) right)=left( AN;BN right)={{90}^{circ }}Rightarrow ANB={{90}^{circ }}$
Xét tam giác vuông ANC có: $AN=sqrt{A{{C}^{2}}-C{{N}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=BN$
$Rightarrow A{{B}^{2}}=A{{N}^{2}}+B{{N}^{2}}=2left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} right)=2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}Rightarrow A{{M}^{2}}=frac{A{{B}^{2}}}{4}=frac{{{a}^{2}}}{2}-frac{{{x}^{2}}}{2}$
Xét tam giác vuông ACM có: $M{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}=frac{{{a}^{2}}}{2}+frac{{{x}^{2}}}{2}=M{{D}^{2}}$
Để$Delta CDM$vuông tại M $Rightarrow M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=C{{D}^{2}}Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}Leftrightarrow {{a}^{2}}=3{{x}^{2}}Leftrightarrow x=frac{asqrt{3}}{3}$
Câu 48: Đáp án
Phương pháp: Xác định giao tuyến của $left( E,FG right)$với tất cả các mặt của hình chóp.
Cách giải:
Kéo dài EF cắt CD tại M và cắt BC tại N.
Trong mặt phẳng $left( SCD right)$nối GM cắt SD tại I và cắt SC tại K.
Trong mặt phẳng (SAB) nối NK cắt SB tại P.
Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng (EFG) là EFIKP, là một ngũ giác.
Câu 49: Đáp án D
Phương pháp: ${{V}_{ABC.A’B’C’}}=A,A'{{.}_{A’B’C’}}$
Cách giải:
$Delta text{AA}’B’=Delta A,A’C’left( c.g.c right)Rightarrow AB’=AC’$ cân tại A.
Gọi M là trung điểm của B’C’ $Rightarrow AMbot B’C’$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
left( {AB’C’} right) cap left( {A’B’C’} right) = B’C’\
left( {AB’C’} right) supset AM bot B’C’\
left( {A’B’C’} right) supset A’M bot B’C’
end{array} right.$
$Rightarrow left( left( AB’C’ right);left( A’B’C’ right) right)=left( AM;A’M right)=AMA’={{30}^{0}}$
Xét tam giác vuông A’B’M có $A’M=A’B’.ctext{os}60=x$
Xét tam giác vuông AMA’ có: $text{AA}’=A’M.tan ,30=frac{xsqrt{3}}{3}$
$begin{array}{l}
{S_{A’B’C’}} = frac{1}{2}A’B’.A’C’.sin {120^0} = frac{1}{2}.4{x^2}.frac{{sqrt 3 }}{2} = {x^2}sqrt 3 \
Rightarrow {V_{ABC.A’B’C’}} = A,A'{._{A’B’C’}} = frac{{xsqrt 3 }}{3}.{x^2}sqrt 3 = {x^3}
end{array}$
Câu 50: Đáp án
Phương pháp: Từ đồ thị hàm số $y=f’left( x right)$lập BBT của đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$và kết luận.
Cách giải: Ta có $f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = 2\
x = 3
end{array} right.$
BBT:
Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai.
Với $xin left( 0;1 right)Rightarrow x+1left( 1;2 right)Rightarrow f’left( x+1 right)<0Rightarrow $ Hàm số$y=fleft( x+1 right)$nghịch biến trên khoảng$left( 0;1 right)$.
=>(III) đúng.
Vậy có hai khẳng định đúng.
