Câu 41: Đáp án D
Để ý rằng OH nằm trong mặt phẳng (OAB) và OH vuông góc với AB, nên một vecto chỉ phương của OH là tích có hướng của $overrightarrow{AB}$ và vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).
Câu 42: Đáp án A
Ta có
$begin{array}{l}
cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} ) = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}}\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = frac{{overrightarrow {AB} .(overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} )}}{{AB.CD}}\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{AB.CD}}\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = frac{{A{B^2} + A{D^2} – B{D^2} – (A{B^2} + A{C^2} – B{C^2})}}{{2.AB.CD}}\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = frac{{A{D^2} + B{C^2} – A{C^2} – B{D^2}}}{{2.AB.CD}}\
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = – frac{1}{2}
end{array}$
Vậy góc cần tìm bằng ${{60}^{0}}.$
Câu 43: Đáp án C
- Gọi a là cạnh của tứ diện đều. Khi đó, chiều cao h của tứ diện đều bằng $dfrac{asqrt{6}}{3}$
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là ${{r}_{2}}=dfrac{S{{A}^{2}}}{2h}=dfrac{asqrt{6}}{4}$
- Bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện là ${{r}_{1}}=h-{{r}_{2}}=dfrac{asqrt{6}}{12}$
- Do đó, ${{r}_{1}}:{{r}_{2}}=1:3$
- Gọi b là cạnh của hình lập phương, thì ${{r}_{2}}=dfrac{b}{2}$ và ${{r}_{3}}=dfrac{bsqrt{3}}{2}$ . Do đó ${{r}_{2}}:{{r}_{3}}=1:sqrt{3}$
Câu 44: Đáp án B
- Số các số có chín chữ số khác nhau là 9!. Trong 9! số này, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 hoặc chữ số 1 đứng sau chữ số 2 là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 là $dfrac{9!}{2}.$
- Tương tự, số các số mà chữ số 1 đứng trước chữ số 2 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4 là $dfrac{9!}{4}.$
- Số các số cần tìm là $dfrac{9!}{8}=45360.$
Câu 45: Đáp án B
- Phương trình đã cho tương đương với
$sin left( dfrac{x}{{{x}^{2}}+6} right)=sin left( dfrac{80}{{{x}^{2}}+32x+332} right)$ (5)
- Ta biết rằng hàm số $y=sin x$ đồng biến trên khoảng $left( -dfrac{pi }{2};dfrac{pi }{2} right)$ . Ta chỉ ra rằng các hàm số $f(x)=dfrac{x}{{{x}^{2}}+6}$ và $g(x)=dfrac{60}{{{x}^{2}}+32x+332}$ nhận giá trị trong khoảng này.
Thật vậy $left| dfrac{x}{{{x}^{2}}+6} right|le left| dfrac{x}{2sqrt{6{{x}^{2}}}} right|=dfrac{1}{2sqrt{6}}$
Mặt khác $0<dfrac{80}{{{x}^{2}}+32x+332}=dfrac{80}{{{(x+16)}^{2}}+76}le dfrac{80}{76}<dfrac{pi }{2}$
- Từ những đánh giá trên, (5) xảy ra khi và chỉ khi
$dfrac{x}{{{x}^{2}}+6}=dfrac{60}{{{x}^{2}}+32+332}Leftrightarrow {{x}^{3}}-48{{x}^{2}}+332x-480=0Leftrightarrow x=2vee x=6vee x=40.$
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2 + 6 + 40 = 48.$
Câu 46: Đáp án C
- Đặt $t=2018-x,,,dt=-dx$. Khi đó
- $I=-intlimits_{2018}^{0}{frac{dt}{1+f(2018-t)}}=intlimits_{0}^{2018}{frac{dt}{1+frac{1}{f(t)}}}=intlimits_{0}^{2018}{frac{(t)dt}{1+f(t)}}$
Do đó $2I=I+I=intlimits_{0}^{2018}{frac{1}{1+f(x)}dx+intlimits_{0}^{2018}{frac{f(x)}{1+f(x)}dx}}=intlimits_{0}^{2018}{1dx}=2018$
Vậy $I=1019.$
Câu 47: Đáp án D
- Từ giả thiết ta có $6x+2y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5$ . Do đó,
$P=frac{{{x}^{2}}+4xy+4{{y}^{2}}+x+2y+4}{x+2y+1}=x+2y+frac{4}{x+2y+1}$
- Đặt $t=x+2y,,,P=t+frac{4}{t+1}$ . Theo bất đẳng thức B.C.S, ta có
${{left[ (x-3)+2(y-1) right]}^{2}}le 5left[ {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}} right]=25$
Suy ra $-5le (x-3)+2(y-1)le 5Rightarrow 0le tle 10$
- Theo bất đẳng thức Cauchy
$t+1+frac{4}{t+1}ge 4Rightarrow Pge 3$
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$t+1=frac{4}{t+1}Leftrightarrow t=1$
.Khi đó $left{ begin{array}{l}
x + 2y = 1\
{(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 5
end{array} right. Leftrightarrow (x – 1 wedge y = 0) vee left( {x = frac{{17}}{5} wedge y = – frac{6}{5}} right)$
$begin{array}{l}
sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(x – 2)}^2}} + sqrt {{{(x – 5)}^2} + {{(x – 6)}^2}} = sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(x – 2)}^2}} + sqrt {{{(5 – x)}^2} + {{(6 – x)}^2}} \
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ge sqrt {{{(x – 1 + 6 – x)}^2} + {{(x – 2 + 5 – x)}^2}} \
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ge sqrt {34} .
end{array}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $dfrac{x-1}{6-x}=dfrac{x-2}{5-x}Leftrightarrow x=dfrac{7}{2}$
- Mặt khác $sqrt{{{(x-3)}^{2}}+{{(x-4)}^{2}}}=sqrt{2{{x}^{2}}-14x+25}=sqrt{2}sqrt{{{left( x-dfrac{7}{2} right)}^{2}}+dfrac{1}{4}}ge dfrac{1}{sqrt{2}}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=dfrac{7}{2}$
- Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là $dfrac{1+2sqrt{17}}{sqrt{2}}$ . Khi đó $a+b=3.$
Câu 49: Đáp án B
- ${{V}_{1}}$ bằng thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao bằng 8 trừ bốn lần thể tích của vật tròn xoay tạo thành khi vật thể giới hạn bởi các đường $x=2sqrt{y},,,x=0,,,y=0,,,x=4$ quay quanh trục Oy.
${{V}_{1}}=pi {{.4}^{2}}.8-4pi intlimits_{0}^{4}{2ydy}=64pi $
- Thể tích ${{V}_{2}}=dfrac{4}{3}pi ({{4}^{3}}-{{2}^{3}}-{{2}^{3}})=64pi .$
Câu 50: Đáp án A
- Ta có $y’=dfrac{{{m}^{2}}+1}{{{(x+1)}^{2}}}>0,,forall xne 1$ , nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định với mọi m.
- (C) cắt trục hoành tại $A({{m}^{2}};0)$ và cắt trục tung $B(0;-{{m}^{2}})$
- $S=-intlimits_{0}^{{{m}^{2}}}{dfrac{x-{{m}^{2}}}{x+1}dx}=({{m}^{2}}+1)ln ({{m}^{2}}+1)-{{m}^{2}}$
- $S=1Leftrightarrow ({{m}^{2}}+1).left[ ln ({{m}^{2}}+1)-1 right]=0Leftrightarrow m=pm sqrt{e-1}.$
