Câu 30: Chọn B.
Ta có $intlimits_{-1}^{4}{{f}’left( x right)text{d}x}=left. fleft( x right) right|_{-1}^{4}$$=fleft( 4 right)-fleft( -1 right)$$Rightarrow fleft( -1 right)=fleft( 4 right)-intlimits_{-1}^{4}{{f}’left( x right)text{d}x}$$=2018-2017=1$.
Câu 31: Chọn B.
Tập xác định $D=mathbb{R}$.
Ta có $fleft( x right)={{2}^{x-1}}+{{2}^{3-x}}$$ge 2sqrt{{{2}^{x-1}}{{.2}^{3-x}}}=4$.
Do đó $underset{xin mathbb{R}}{mathop{min }},fleft( x right)=4$ khi ${{2}^{x-1}}={{2}^{3-x}}$$Leftrightarrow x=2$.
Câu 32: Chọn A.
Gọi $x$ $left( cm right)$, $x>0$ là bán kính đáy của hình trụ.
Chiều cao của hình trụ là $frac{12-4x}{2}=6-2x$ $left( text{cm} right)$.
Thể tích khối trụ $V=pi {{x}^{2}}.left( 6-2x right)=pi x.x.left( 6-2x right)le pi {{left( frac{x+x+6-2x}{3} right)}^{3}}=8pi $$left( text{c}{{text{m}}^{text{3}}} right)$.
Do đó khối trụ có thể tích lớn nhất bằng $8pi left( text{c}{{text{m}}^{text{3}}} right)$ khi $x=2left( text{cm} right)$.
Câu 33: Chọn B.
Điều kiện $2-{{cos }^{2}}xge 0$$Leftrightarrow 1+{{sin }^{2}}xge 0$$SA=sqrt{S{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}$ $left( * right)$.
Phương trình $Leftrightarrow {{2017}^{sin x}}=sin x+sqrt{1+{{sin }^{2}}x}$ $left( 1 right)$.
Đặt $sin x=t$, $tin left[ -1;1 right]$ thì $left( 1 right)$ thành ${{2017}^{t}}=t+sqrt{1+{{t}^{2}}}$ $left( 2 right)$.
Ta có ${{2017}^{t}}>0$, $forall tin left[ -1;1 right]$ và $t+sqrt{1+{{t}^{2}}}>t+sqrt{{{t}^{2}}}=t+left| t right|ge 0$, $forall tin left[ -1;1 right]$.
Do đó $left( 2 right)$$Leftrightarrow t={{log }_{2017}}left( t+sqrt{1+{{t}^{2}}} right)$$Leftrightarrow {{log }_{2017}}left( t+sqrt{1+{{t}^{2}}} right)-t=0$ $left( 3 right)$.
Xét hàm số $=frac{asqrt{21}}{6}$, với $tin left[ -1;1 right]$ có
${f}’left( t right)=frac{1}{left( t+sqrt{1+{{t}^{2}}} right)ln 2017}.left( 1+frac{t}{sqrt{1+{{t}^{2}}}} right)-1$$=frac{1}{sqrt{{{t}^{2}}+1}.ln 2017}-1$
$=frac{1-sqrt{{{t}^{2}}+1}.ln 2017}{sqrt{{{t}^{2}}+1}.ln 2017}<0$, $forall tin left( -1;1 right)$$Rightarrow fleft( t right)$ nghịch biến trên $left[ -1;1 right]$.
Do đó trên $left[ -1;1 right]$, phương trình $fleft( t right)=0$ nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.
Mặt khác $fleft( 0 right)=0$ nên $fleft( t right)=0$$Leftrightarrow t=0$.
Khi đó $left( 3 right)$$Leftrightarrow t=0$ hay $sin x=0Leftrightarrow x=kpi $ $left( kin mathbb{Z} right)$.
Bài ra $xin left[ -5pi ;2017pi right]$$Rightarrow kpi in left[ -5pi ;2017pi right]$$Rightarrow kin left[ -5;2017 right]$.
Mà $kin mathbb{Z}Rightarrow kin left{ -5;-4;-3;…;2017 right}$.
Vậy phương trình đã cho có $2023$ nghiệm thực trong đoạn $left[ -5pi ;2017pi right]$.
Câu 34: Chọn C.
Ta có ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}+2ax+b$$Rightarrow {f}”left( x right)=6x+2a$.
Phương trình ${{f}’}’left( x right)=0$ có nghiệm $x=-frac{a}{3}$ nên đồ thị của hàm số luôn có tâm đối xứng.
$xrightarrow{{}}$ Như vậy A đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$.
Phương trình bậc ba luôn có nghiệm nên đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành.
$xrightarrow{{}}$ Như vậy B đúng.
Ta có ${f}’left( x right)=3{{x}^{2}}+2ax+b=0$$Leftrightarrow {Delta }’={{a}^{2}}-3b>0$.
Do đó hàm số không thể luôn có cực trị.
$xrightarrow{{}}$ Như vậy C sai.
Ta có $underset{xto ,+,infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=+,infty $.
$xrightarrow{{}}$ Như vậy D đúng.
Câu 35: Chọn C.
${{left( frac{1}{2} right)}^{{{x}^{2}}-x}}>{{left( frac{1}{2} right)}^{4-x}}$$Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<4-x$$Leftrightarrow {{x}^{2}}-4<0$$Leftrightarrow -2<x<2$.
Câu 36: Chọn B.
Điều kiện: $x>0$.
$4{{left( {{log }_{2}}sqrt{x} right)}^{2}}-{{log }_{frac{1}{2}}}x+m=0$$Leftrightarrow {{left( {{log }_{2}}x right)}^{2}}+{{log }_{2}}x+m=0$.
Đặt $t={{log }_{2}}x$, do $xin left( 0;1 right)$$Rightarrow tin left( -infty ;0 right)$.
Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t+m=0$$Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}-t=fleft( t right)$
${f}’left( t right)=-2t-1$, ${f}’left( t right)=0Leftrightarrow t=-frac{1}{2}$$Rightarrow fleft( -frac{1}{2} right)=frac{1}{4}$, $fleft( 0 right)=0$.
BBT:
Ycbt $Leftrightarrow mle frac{1}{4}$.
Cách khác
Điều kiện: $x>0$.
$4{{left( {{log }_{2}}sqrt{x} right)}^{2}}-{{log }_{frac{1}{2}}}x+m=0$$Leftrightarrow {{left( {{log }_{2}}x right)}^{2}}+{{log }_{2}}x+m=0$ $left( 1 right)$.
Đặt $t={{log }_{2}}x$. Phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t+m=0$ $left( 2 right)$.
Phương trình $left( 1 right)$ có nghiệm $xin left( 0;1 right)$$Leftrightarrow $phương trình $left( 2 right)$ có nghiệm $t<0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
a.c < 0\
left{ begin{array}{l}
Delta ge 0\
S < 0\
P ge 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m < 0\
left{ begin{array}{l}
1 – 4m ge 0\
– 1 < 0\
m ge 0
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m < 0\
0 le m le frac{1}{4}
end{array} right. Leftrightarrow m le frac{1}{4}$.
Câu 37: Chọn D.
Gọi $I$ là tâm đường tròn $left( ABC right)$ $Rightarrow IA=r=frac{asqrt{3}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$$Rightarrow ABbot left( SMC right)$
$Rightarrow $ Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc $widehat{SMC}={{60}^{text{o}}}$ $Rightarrow SM=2IM=frac{2asqrt{3}}{6}$$=frac{asqrt{3}}{3}$, $Rightarrow $$SA=sqrt{S{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}$$=sqrt{frac{{{a}^{2}}}{3}+frac{{{a}^{2}}}{4}}$$=frac{asqrt{21}}{6}$.
Diện tích xung quanh hình nón ${{S}_{xq}}=pi rl$$=pi .frac{asqrt{3}}{3}.frac{asqrt{21}}{6}$$=frac{pi {{a}^{2}}sqrt{7}}{6}$.
Câu 38: Chọn A.
Mặt phẳng $left( Q right)$ có VTPT $overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left( 1;1;-4 right)$.
Đường thẳng $d$ có VTCP $overrightarrow{{{u}_{d}}}=left( 0;1;-1 right)$.
Gọi VTPT của mặt phẳng $left( P right)$ là $overrightarrow{{{n}_{P}}}$.
Ta có: $overrightarrow{{{n}_{P}}}bot overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ và $overrightarrow{{{n}_{P}}}bot overrightarrow{{{u}_{d}}}$ nên chọn $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{Q}}},,overrightarrow{{{u}_{d}}} right]=left( 3;,1;,1 right)$.
$left( P right)$ đi qua điểm $Aleft( 0;1;0 right),$ VTPT $overrightarrow{{{n}_{P}}}=left( 3;1;1 right)$ có phương trình là: $3x+y+z-1=0$.
Câu 39: Chọn C.
Ta có : $Mleft( 0;2;-1 right),$ $Nleft( -3;2;0 right)$$Rightarrow overrightarrow{MN}=left( -3;0;1 right)$.
Câu 40: Chọn B.
$left( 1 right):D=mathbb{R},$ ${y}’={{x}^{2}}-2x+3={{left( x-1 right)}^{2}}+2>0,forall xin mathbb{R}$.
$Rightarrow $hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$.
$left( 2 right):D=mathbb{R}backslash left{ -frac{1}{2} right}$, ${y}’=frac{4}{{{left( 2x+1 right)}^{2}}}>0,forall xin D$.
$Rightarrow $hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $left( -infty ;-frac{1}{2} right);$$left( -frac{1}{2};+infty right)$, không đồng biến trên tập xác định.
$left( 3 right):D=mathbb{R},$ ${y}’=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+4}};$ ${y}’>0Leftrightarrow xin left( 0;+infty right)$.
$Rightarrow $ hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$, không đồng biến trên tập xác định.
$left( 4 right):D=mathbb{R},$ ${y}’=3{{x}^{2}}+1-cos xge 0,forall xin mathbb{R};$ ${y}’=0Leftrightarrow x=0$.
$Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$.
$left( 5 right):D=mathbb{R},$ ${y}’=4{{x}^{3}}+2{{x}^{2}};$ ${y}’>0Leftrightarrow xin left( 0;+infty right)$.
$Rightarrow $ hàm số đồng biến trên khoảng $left( 0;+infty right)$, không đồng biến trên tập xác định.
Câu 41: Chọn D.
Đặt $t=sin x$$Rightarrow text{d}t=cos xtext{d}x$.
$Fleft( x right)=int{fleft( x right)text{d}x}$$=int{{{sin }^{3}}xcos xtext{d}x}$$=int{{{t}^{3}}text{d}t}$$=frac{{{t}^{4}}}{4}+C$$=frac{{{sin }^{4}}x}{4}+C$.
$Fleft( 0 right)=pi $$Rightarrow frac{{{sin }^{4}}pi }{4}+C=pi $$Leftrightarrow C=pi $$Rightarrow Fleft( x right)=frac{{{sin }^{4}}x}{4}+pi $.
$Fleft( frac{pi }{2} right)=frac{{{sin }^{4}}frac{pi }{2}}{4}$$=frac{1}{4}+pi $.
Câu 42: Chọn D.
Số đường chéo của đa giác là $C_{n}^{2}-n$.
Câu 43:Chọn A.
TXĐ: $D=mathbb{R}$.
${y}’=6{{x}^{2}}-12x$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại ${{x}_{0}}$ là $k={y}’left( {{x}_{0}} right)$.
$Leftrightarrow k=6x_{0}^{2}-12{{x}_{0}}$$=6left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}} right)$$=6{{left( {{x}_{0}}-1 right)}^{2}}-6ge -6$.
Hệ số góc nhỏ nhất bằng $-6$ khi ${{x}_{0}}=1$$Rightarrow {{y}_{0}}=-1$.
Phương trình tiếp tuyến là $y=-6left( x-1 right)-1$$Leftrightarrow 6x+y-5=0$.
Câu 44: Chọn C.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$.
Ta có: $widehat{left( left( SBC right),left( ABC right) right)}=widehat{SMO}=60{}^circ $.
$OM=frac{1}{3}AM$$=frac{asqrt{3}}{6}$.
$tan 60{}^circ =frac{SO}{OM}$$Rightarrow SO=OM.tan 60{}^circ $$=frac{asqrt{3}}{6}.sqrt{3}$$=frac{a}{2}$.
$V=frac{1}{3}.frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}.frac{a}{2}$$=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{24}$.
Câu 45: Chọn C.
+ Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$.
Ta có: $y’=3{{x}^{2}}-3$; $y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x = – 1
end{array} right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có.
Đường thẳng $d:y=m-1$ cắt đồ thị hàm số $left( C right):y={{x}^{3}}-3x+2$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $0<m-1<4$$Leftrightarrow 1<m<5$.
Câu 46: Chọn B.
${y}’={{x}^{2}}+2left( m-2 right)x+2m+3$.
Hàm số nghịch biến trên $left[ 0;3 right]$ khi và chỉ khi ${y}’le 0$, $forall text{x}in left[ 0;,text{3} right]$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}+2left( m-2 right)x+2m+3le 0$, $forall text{x}in left[ 0;,text{3} right]$$Leftrightarrow 2mle frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}$, $forall text{x}in left[ 0;,text{3} right]$.
Xét hàm số $gleft( x right)=frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}$ trên $left[ 0;,text{3} right]$.
${g}’left( x right)=frac{-{{x}^{2}}-2x+7}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$; ${g}’left( x right)=0$$Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2x+7=0$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1 + 2sqrt 2 in left( {0;3} right)\
x = – 1 – 2sqrt 2 notin left( {0;3} right)
end{array} right.$.
$gleft( 0 right)=-3$; $gleft( 3 right)=0$; $gleft( -1+2sqrt{2} right)=6-4sqrt{2}$.
$2mle frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}$, $forall text{x}in left[ 0;,text{3} right]$$Leftrightarrow 2mle underset{left[ 0;3 right]}{mathop{min }},frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=-3$$Leftrightarrow mle -frac{3}{2}$.
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=-2$.
Câu 47: Chọn A.
Xét hàm $y=x+sqrt{2},cos x$ trên đoạn $left[ 0;,frac{pi }{2} right]$.
${y}’=1-sqrt{2}sin x$.
${y}’=0$ $Leftrightarrow sin x=frac{1}{sqrt{2}}$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{4} + k2pi \
x = frac{{3pi }}{4} + k2pi
end{array} right.$.
Do $xin left[ 0;,frac{pi }{2} right]Rightarrow x=frac{pi }{4}$.
Ta có $yleft( 0 right)=sqrt{2}$; $yleft( frac{pi }{4} right)=frac{pi }{4}+1$; $yleft( frac{pi }{2} right)=frac{pi }{2}$.
Vậy $M=underset{left[ 0;text{ }frac{pi }{2} right]}{mathop{Max}},y=yleft( frac{pi }{4} right)=frac{pi }{4}+1$; $m=underset{left[ 0;text{ }frac{pi }{2} right]}{mathop{Min}},y=yleft( 0 right)=sqrt{2}$.
Nên $M-m=frac{pi }{4}+1-sqrt{2}$.
Câu 48: Chọn D.
Ta có ${y}’=3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-3m$.
Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0$ thì ${y}’=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},,{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0$ $Leftrightarrow frac{c}{a}<0$$Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m<0$$Leftrightarrow 0<m<3$.
Câu 49: Chọn C.
Hàm số $y=frac{1}{{{5}^{x}}}={{left( frac{1}{5} right)}^{x}}$có cơ số $frac{1}{5}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$.
Hàm số $y={{left( frac{pi }{4} right)}^{x}}$có cơ số $frac{pi }{4}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$.
Hàm số $y=frac{1}{{{left( sqrt{7}-sqrt{5} right)}^{x}}}={{left( frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}} right)}^{x}}$có cơ số $frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}}>1$ nên hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$.
Hàm số $y={{left( frac{e}{3} right)}^{x}}$có cơ số $frac{e}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$.
Câu 50: Chọn A.
Măt phẳng $left( Oyz right)$có phương trình $x=0$
Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $left( Oyz right)$ suy ra $Aleft( 0;,-7;,-5 right)$.
Chọn $Mleft( 2;,-3;,1 right)in d$
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $left( Oyz right)$suy ra $Hleft( 0;,-3;,1 right)$
Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $left( Oyz right)$là đường thẳng ${d}’$ đi qua $H$ nhận $overrightarrow{AH}=left( 0;,-4;,-6 right)=-2left( 0;,,2;3 right)$ có phương trình: $d’:left{ begin{array}{l}
x = 0\
y = – 3 + 2t\
z = 1 + 3t
end{array} right.$.
